《概率论与统计原理》第3章

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1、第三章随机变量的数字特征§3.1随机变量的数学期望3.1.1数学期望的定义1、离散型随机变量的数学期望设X为一个离散型随机变量，其概率分布为P{X=xi}=pi（i=1，2，…），如果级数绝对收敛，则称级数为随机变量X的数学期望，记为EX，即例1设随机变量X的概率分布为求X的数学期望EX。2、连续型随机变量的数学期望设X为一个连续型随机变量，其概率密度为f（x），如果积分绝对收敛，则称积分为随机变量X的数学期望，即X-414P0.350.500.15例2设随机变量X在区间[a，b]上服从均匀分布，求数学期望EX。例3设随机变量X服从柯西分布，其概率密度为求数学期望EX。3.1.2随机

2、变量函数的数学期望设X是一个随机变量，y=g（x）是一个连续函数，则Y=g（X）是随机变量X的函数。（1）如果X为离散型随机变量，其概率分布为P{X=xi}=pi（i=1，2，…），且级数绝对收敛，则随机变量Y=g(X)的数学期望为如果X为连续型随机变量，其概率密度为f（x），且积分绝对收敛，则随机变量Y=g(X)的数学期望为例4设随机变量X的概率分布为求E（-X+1），E（X2）。例5对圆的直径进行测量，假设其测量值X在区间[a，b]上服从均匀分布，求圆的面积的数学期望。例6设随机变量X在区间（0，π）上服从均匀分布，求Y=sinX的数学期望。X-100.512P1/31/61/6

3、1/121/4例7设某种商品每周的需求量X是服从区间[10，30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10，30]上的某一整数，商店每销售一个单位的商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位的商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时一单位商品仅获利300元．为使商店所获利润期望值不小于9280元，试确定最少进货量。3.1.3数学期望的性质1、设C为常数，则EC=C。2、设X是一个随机变量，C是常数，则E（CX）=CEX3、设X，Y是两个随机变量，则E（X+Y）=EX+EY这个性质可以推广到任意有限个随机变量的情况：设X1，X2，…，Xn是任意n个

4、随机变量，则E（X1+X2+…+Xn）=EX1+EX2+…+EXn4、设X和Y是两个相互独立的随机变量，则E（XY）=EXEY这个性质可以推广到任意有限个随机变量的情况：设X1，X2，…，Xn是n个相互独立的随机变量，则E（X1X2…Xn）=EX1EX2…EXn例8设随机变量X和Y相互独立，其概率密度分别为求E（2X-3Y）,E（XY），E（-4XY+5）。例9袋中装有标着号码为1，2，…，9的9个球，用还原方法从袋中抽取4个球，求所得号码之和X的数学期望。§3.2随机变量的方差3.2.1方差和标准差的定义设X是一个随机变量，如果其数学期望EX存在，则称X-EX为X的离差。如果E（X

5、-EX）2存在，则称E（X-EX）2为随机变量X的方差，记为DX，即DX=E（X-EX）2称方差的平方根为随机变量X的标准差。由方差的定义可知，方差实际上是随机变量X的函数的数学期望。因此，如果X是离散型随机变量，其概率分布为P{X=xi}=pi（i=1，2，…），则如果X为连续型随机变量，其概率密度为f（x），则随机变量X的方差可按下列公式计算：DX=EX2-（EX）2例10设随机变量X服从参数为λ的泊松分布（λ>0），求方差DX。例11设随机变量X服从参数为λ的指数分布（λ>0），求方差DX。3.2.2方差的性质1、对任意随机变量X，有DX≥0；并且DX=0的充分必要条件是X以概

6、率1为常数。2、设X是一个随机变量，C是常数，则D（CX）=C2DX3、设X和Y是两个相互独立的随机变量，则D（X+Y）=DX+DY这个性质可以推广到任意有限个随机变量的情况：设X1，X2，…，Xn是n个相互独立的随机变量，则D（X1+X2+…+Xn）=DX1+DX2+…+DXn4、设X是一个随机变量，其方差DX存在，则对任意常数C，有例12设有随机变量X，其中EX＝μ，DX＝σ2，称Y=（X-μ）/σ为X的标准化，证明EY=0，DY=1。例13设X1，X2，…，Xn是n个相互独立的随机变量，EXi=μ，DXi=σ2。令，求EY，DY。3.2.3切比雪夫不等式设随机变量X的数学期望E

7、X＝μ和方差DX＝σ2存在，则对任意实数ε＞0，有P{│X－μ│≥ε}≤例14对任意的随机变量X，若EX＝μ，DX＝σ2存在，利用切比雪夫不等式估计概率P{│X－μ│≥3σ}。§3.3常用分布的数学期望和方差3.3.1常用离散型分布的数学期望和方差1、0-1分布设随机变量X服从参数为p的0-1分布，则EX=p，DX=p（1–p）。2、二项分布设随机变量X服从参数为（n，p）的二项分布（0