《概率论与统计原理》第2章

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1、第二章随机变量及其分布§2.1随机变量及其分布函数2.1.1随机变量随机变量是随机试验中测量的量，是随机试验的数值描述，是取值带随机性的变量。1、随机变量的定义设E为随机试验，Ω={ω}为其样本空间，若对任意ω∈Ω，有唯一实数X（ω）与之对应，则称X=X（ω）是随机变量，简记作X。2、随机变量和事件之间的关系2、随机变量和事件之间的关系对于任一随机变量X和任意实数a，b，则{X=a}，{X

2、个，理论上我们可以将其所有可能取值一一列举出来。连续型随机变量的取值可以是某一区间内的一切实数值。2.1.2随机变量的分布函数1、分布函数的定义设X是一个随机变量，对任意x∈(-∞，+∞)，称函数F(x)=P{X≤x}为随机变量X的分布函数。2、分布函数的性质（1）有界性0≤F（x）≤1，x∈(-∞，+∞)（2）单调不减性对任意x1＜x2，有F（x1）≤F（x2）P{x1＜X≤x2}=F（x2）-F（x1）（3）右连续性F（x）是右连续函数。（4）F（+∞）=1，F（-∞）=0§2.2离散型随机变量2.2.1离

3、散型随机变量及其分布1、离散型随机变量的定义如果随机变量的所有可能取的值只有有限个或可数无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。离散型随机变量的例子：观测一小时内达到某收费站的汽车数量110每天接到报警电话的次数2、离散型随机变量概率分布的表示方法其中3、离散型随机变量概率分布的性质（1）pi≥0（2）Σpi=14、离散型随机变量的分布函数例1给定离散型随机变量X的概率分布如下：（1）验证此分布满足概率分布的基本性质；（2）求X的分布函数F（x）；（3）作出F（x）的图形；（4）求P{0≤X≤1.5}，P{

4、1≤X＜1.5}，P{1＜X＜1.5}X012P0.10.60.32.2.2常用离散型概率分布1、两点分布（0-1分布或伯努利分布）随机变量X只取两个可能值0和1，且P{X=1}=p，P{X=0}=1–p（0

5、相互独立，即各次试验中成功的概率相同，将试验独立进行n次，就是n重伯努利试验。以X表示n重伯努利试验中成功的次数，则随机变量X服从参数为（n，p）的二项分布，其中p是每次试验成功的概率。（2）二项分布的最可能次数（概率最大的次数）设随机变量X服从参数为（n，p）的二项分布，若如果（n+1）p是整数，则（n+1）p-1和（n+1）p是最可能次数；如果（n+1）p不是整数，其整数部分m=[（n+1）p]，是最可能次数。例2有9个工人，间歇地使用电力。假设在任一时刻每位工人都以同样的概率0.2需要一个单位的电力，并且

6、各位工人工作相互独立。求最大可能有多少位工人同时需要供应一个单位的电力？例3据历史资料显示，某种疾病患者的自然痊愈率为0.25。为了试验一种新药，某医生把此药给10个病人服用，如果这10人中至少有4人治好了，则认为新药有效，否则认为新药无效。求新药有效并把痊愈率提高到0.35，但通过使用却被否定的概率。3、泊松分布如果随机变量X的概率分布为其中参数λ＞0，则称随机变量X服从参数为λ的泊松分布。设X服从参数为（n，p）的二项分布，当n→∞，p→0，并且np适中，则二项分布概率可以利用泊松分布概率近似计算，即例4设

7、有同类设备300台，各台工作状态相互独立。已知每台设备发生故障的概率为0.01，若一台设备发生故障需要一个人去处理，（1）问至少要配备多少维修工人，才能保证设备发生故障而不能及时得到维修的概率小于0.01？若改为一人负责维修20台或3人负责维修80台，求这两种情况下，设备发生故障而不能及时维修的概率。4、几何分布如果随机变量X的概率分布为P{X=k}=pqk-1(k=1，2，…)其中q=1-p，0＜p＜1，则称随机变量X服从参数为p的几何分布。例5设某求职人员，在求职过程中每次求职的成功率为0.4，问该人员要求

8、求职多少次，才能有0.9的把握获得一次就业机会？§2.3连续型随机变量2.3.1连续型随机变量的定义1、连续型随机变量定义设随机变量X的分布函数F（x），如果存在非负函数f（x），使得对于任意实数x，有则称随机变量X为连续型随机变量，称f（x）为X的概率密度函数，简称概率密度。2、连续型随机变量概率密度的基本性质（1）f(x)≥0；（2）3、连续型随机变量概率密度的其他性质（1）一般地