概率论与统计原理第5章

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1、第五章统计原理§5.1数理统计的基本概念5.1.1总体和样本在实际中，我们把研究对象的全体组成的集合称为总体；组成总体的每一个元素称为个体；总体的一个子集称为样本。在数学上，我们把随机变量X称为总体，并把随机变量X的概率分布称为总体分布；把相互独立且与总体X同分布的随机变量（X1，X2，…，Xn）称为来自总体X的一个简单随机样本；n称为样本容量；把样本（X1，X2，…，Xn）的每一个具体值（x1，x2，…，xn）称为样本（X1，X2，…，Xn）的一组样本观测值或样本实现。5.1.2统计量设（X1，X2，…，Xn）是来自总体X的一个简单随机

2、样本，称样本的函数T=g（X1，X2，…，Xn）为统计量，如果它不依赖于任何未知参数。统计量的具体值亦称做统计量的实现。几个常用的统计量：1、样本均值2、样本方差3、样本标准差4、样本k阶原点矩5、样本k阶中心矩6、顺序统计量最小统计量最大统计量极差例1设假设总体X服从参数为p（0

3、样本值，求样本均值和样本方差。例2设一个样本由六个6，七个7，八个8，九个9和十个10组成．求样本容量，样本均值、样本方差和样本极差。例3设某地区抽样调查200个居民家庭，得到月支出的统计资料如下：月支出（千元）1~22~33~44~55~66~77~8家庭数18357624191414求样本均值和样本方差近似值。5.1.3经验分布函数对于任意实数x，设μn表示样本（X1，X2，…，Xn）的n个观察值中不大于x的观察值的个数，则μn表示在对总体X的n次独立重复观测中，事件{X≤x}出现的次数。因此在对总体X的n次独立重复观测中，事件{X≤

4、x}出现的频率称为总体X的经验分布函数或样本分布函数。对于给定的样本值（x1，x2，…，xn），经验分布函数具有分布函数的一切性质，经验分布函数也是一个阶梯型的函数；经验分布函数依概率收敛于总体的分布函数。经验分布函数依概率收敛于总体的分布函数这个结论，为进行统计推断提供了依据。例4根据例1（2）和例2中的数据，分别求其经验分布函数。§5.2抽样分布5.2.1χ2分布设（X1，X2，…，Xn）是来自正态总体N（0，1）的样本，称统计量χ2=X12+X22+…+Xn2服从自由度为n的χ2分布，记为χ2~χ2（n）。χ2分布上α分位点：对于给

5、定的α（0<α<1），称满足条件为χ2（n）分布的上α分位点。5.2.2t分布随机变量X~N（0，1），Y~χ2（n），且X和Y相互独立，则称随机变量服从自由度为n的t分布，记为T~t（n）。t分布上α分位点：对于给定的α（0<α<1），称满足条件为t（n）分布的上α分位点。5.2.3正态总体的抽样分布设（X1，X2，…，Xn）是来自正态总体N（μ，σ2）的一个样本，则（1）样本均值（2）随机变量（3）样本均值和样本方差相互独立（4）随机变量例5设总体X服从N（0，0.32），（X1，X2，…，X10）是来自X的一个容量为10的样本，求概

6、率例6假设一种电子元件的使用寿命X（小时）服从正态分布N（3000，8002）。一名顾客购买了50个元件，试求这50个元件的平均使用寿命超过3250的概率。§5.3参数估计5.3.1统计估计的概念在统计中，估计既表示由样本特征求总体特征的过程，也表示由样本求得的总体特征的估计值。一、参数估计和非参数估计可以用有限个参数表示的估计问题，统称为参数估计，否则称为非参数估计。二、参数估计的方法参数估计有两种基本类型：点估计和区间估计。点估计，也称“定值估计”，既可以指用统计量的值做为未知参数的估计值，也可以指用来估计未知参数的统计量。区间估计是

7、指根据估计可靠程度的要求，由样本确定总体参数的一个区间范围。5.3.2参数的点估计最常用的点估计方法：矩估计法和极大似然估计法。一、矩估计法矩估计法是用样本矩来估计总体矩，用样本矩的函数来估计总体矩的相应函数的一种估计方法。例7设总体X服从参数为λ的指数分布，其中λ未知。（X1，X2，，Xn）是来自X的简单随机样本，求λ的矩估计量。例8设X为任意总体，EX=μ，DX=σ2＞0存在，但未知。（X1，X2，，Xn）是来自总体X的简单随机样本，求μ和σ2的矩估计量。二、极大似然估计法设总体X的概率密度为f（x,θ）（当X为离散型时，f（x,

8、θ）=P{X=x}，即为概率分布），其中θ为待估参数。设（x1，x2，，xn）为样本（X1，X2，，Xn）的一组观测值，称为似然函数。对于给定的样本观测值（x1，x2，，xn），使似然函