2019年高中数学 2.3反证法与放缩法同步检测试题 新人教A版选修4-5

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1、2019年高中数学2.3反证法与放缩法同步检测试题新人教A版选修4-51．用反证法证明“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数”时，下列假设中正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数答案：B2．在求证“数列，，不可能为等比数列”时最好采用(　　)A．分析法　B．综合法C．反证法D．直接法答案：C3．设M＝＋＋＋…＋，则(　　)A．M＝1B．M<1C．M>1D．M与1大小关系不定答案：B4．a，b，c，d∈R，a2

2、＋b2＝1，c2＋d2＝1，则abcd的最小值等于(　　)A.B．－C.D．－答案：B5．A＝1＋＋＋…＋与(n∈N*)的大小关系为________．解析：n∈N*，当n＝1时，A＝＝1；当n>1时，A＝1＋＋＋…＋>1＋＋＋…＋＝1＋(－1)＋(－)＋…＋(－)＝.综上可知，A≥.答案：A≥6．设a，b，c∈R＋，则三个数a＋，b＋，c＋(　　)A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2答案：D7．若正数a，b满足ab≥1＋a＋b，则a＋b的最小值为________．答案：2＋28．A＝1＋＋＋…＋与2的大小关系是________．解析：A＝1＋＋＋…＋

3、<1＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＝2－<2.答案：A＜29．已知x，y>0，且x＋y>2.证明：，中至少有一个小于2.证明：(反证法)设≥2，≥2，则由①②式可得2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2与题设矛盾．∴，中至少有一个小于2.10．若数列{xn}的通项公式为xn＝，求证：x1·x3·x5·…·x2n－1<.证明：∵＝＝，x1·x3·x5·…·x2n－1＝××…×<＝.∴x1·x3·x5·…·x2n－1<.11．(xx·佛山一模·节选)数列{an}的通项公式an＝4n(n＋1)．(1)记＝＋，求证：对一切正整数n，有＋＋＋…＋<.(2)求证：对一切正整数n，有＋＋＋…＋<.答案

4、：(1)证明：方法一　＝＝－，所以＝＋＝.于是＋＋＋…＋＝＋－＋…＋＋＝1＋－－<.方法二　＝＋＝＋＝＝.于是＋＋＋…＋＝＋－＋…＋＋－＝1＋－－<.(2)证明：所证明的不等式为＋＋＋…＋<.方法一　首先证明<－(n≥2)．∵<⇔<⇔7n2＋7n<8n2＋8n－2⇔n2＋n－2>0⇔(n－1)(n＋2)>0.∴当n≥2时，＋＋…＋<＋＋…＋<＋×＝.当n＝1时，<.综上所述，对一切正整数n，有＋＋＋…＋<.方法二　<＝＝.当n≥3时，＋＋…＋<＋＋＋＋…＋＋<＋＋<＋＋＝.当n＝1时，<；当n＝2时，＋<＋＝.综上所述，对一切正整数n，有＋＋＋…＋<.12．(xx·广东卷·节选)若

5、数列{an}的通项公式为an＝n2，n∈N*，求证：对一切正整数n，有＋＋…＋<.证明：①当n＝1时，＝1<，∴原不等式成立．②当n＝2时，＋＝1＋<，∴原不等式成立．③当n≥3时，∵n2>(n－1)·(n＋1)，∴<.＋＋…＋＝＋＋…＋＋<1＋＋＋…＋＋＝1＋＋＋＋…＋＋＝1＋1－＋－＋－＋…＋－－＝1＋＝＋－－<.∴当n≥3时，∴原不等式成立．综上，对一切正整数n，有＋＋…＋<.13．(xx·江西卷·节选)正项数列{an}的通项公式an＝2n，令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.求证：对于任意的n∈N*，都有Tn<.证明：由于an＝2n，bn＝.则bn＝＝.Tn＝1－＋－＋

6、－＋…＋－＋－＝1＋－－<＝.14．设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1(n∈N*)，且a1，a2＋5，a3成等差数列．(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)求证：对一切正整数n，有＋＋…＋<.解析：(1)2Sn＝an＋1－2n＋1＋1,2Sn＋1＝an＋2－2n＋2＋1相减得：an＋2＝3an＋1＋2n＋1而2S1＝a2－3⇔a2＝2a1＋3，则a3＝3a2＋4＝6a1＋13故a1，a2＋5，a3成等差数列⇔a1＋a3＝2(a2＋5)⇔a1＝1.(2)a1＝1，a2＝5，得an＋1＝3an＋2n对∀n∈N*均成立．an＋1＝3an＋

7、2n⇔an＋1＋2n＋1＝3(an＋2n)得an＋2n＝3(an－1＋2n－1)＝32(an－2＋2n－2)＝…＝3n－1(a1＋2)⇔an＝3n－2n.(3)当n＝1时，＝1<；当n≥2时，n≥2>2⇔3n>2×2n⇔an>2n⇔<.＋＋…＋<1＋＋＋…＋＝1＋－<，由上式得：对一切正整数n，有＋＋…＋<.15．(xx·广州二模·节选)设an是函数f(x)＝x3＋n2x－1(n∈N*)的零点，且0