2018-2019学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.5.3 反证法和放缩法导学案 新人教B版选修4-5

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1、1.5.3　反证法和放缩法1.理解反证法和放缩法的概念.2.会用反证法和放缩法证明较简单的不等式.自学导引1.反证法：首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的结论正确.2.放缩法：将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的.如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值缩小，反之，把分母缩小，则分式的值放大.基础自测1.设M＝＋＋＋…＋，则(　　)A.M＝1B.M<1C.M>1D.M与1大小关系不定解析　M是2

2、10项求和，M＝＋＋＋…＋<＋＋＋…＋＝1，故选B.答案　B2.已知a，b∈R＋，下列各式中成立的是(　　)A.cos2θ·lga＋sin2θ·lgblg(a＋b)C.acos2θbsin2θ＝a＋bD.acos2θ·bsin2θ>a＋b解析　cos2θlga＋sin2θlgb＝cos2θlga＋(1－cos2θ)lgb＝cos2θlg＋lgb

3、证明不等式【例1】已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.证明　假设a、b、c不全是正数，即至少有一个小于或等于0.又abc>0，不妨假设a<0，则bc<0.∵b＋c>－a>0，∴－a(b＋c)>0.∴a(b＋c)<0，又∵bc<0，∴bc＋a(b＋c)<0.即ab＋bc＋ca<0.这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾.∴假设不成立.故a>0，b>0，c>0成立.●反思感悟：用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立.1.设a＞0，b＞0，且a＋b＝＋.证明：(1)a＋b≥2；(2

4、)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立.证明　由a＋b＝＋＝，a＞0，b＞0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，则由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1；同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab＝1矛盾.故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立.知识点2　放缩法证明不等式【例2】设Sn＝＋＋…＋，求证：不等式＋＋…＋＝1＋2＋…＋n＝.且Sn<＋＋…＋＝＋＋…＋<＋＋＋…＋＝∴

5、、函数的单调性放缩、重要不等式收缩等，放缩时要注意适度，否则不能同向传递.2.求证：1＋＋＋…＋<2(n∈N*).证明　1＋＋＋…＋<1＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＝2－<2.知识点3　放缩法与其它方法相结合证不等式【例3】若正数a，b，c满足a＋b>c，求证：＋>.证明　∵a＋b>c，∴a＋b－c>0，由真分数的性质：<＝＝＋<＋∴＋>.●反思感悟：函数的单调性和“真分数的分子、分母同加上一正数，所得新分数的值变大”的性质都是放缩的重要依据.3.求证：＋＋＋…＋<3(n∈N*).证明　设S＝＋＋＋…＋，将等式两边乘以得S＝＋＋＋…＋.将两式相减得S＝＋2－＝＋1－.∴S＝3－，又>0，∴S<

6、3，即＋＋＋…＋<3(n∈N*).课堂小结1.用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面.当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的.(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾、有的与假设矛盾、有的与已知事实相违背等等.推导出的矛盾必须是明显的.2.放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一.放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，常用的放缩法有增项、减

7、项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等.随堂演练1.设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的(　　)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分又不必要条件解析　必要性是显然成立的当PQR>0时，若P，Q，R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P>0，Q<0，R<0，则Q＋R