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时间:2019-11-14
《2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2抛物线的简单性质1课时作业北师大版选修》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2抛物线的简单性质1课时作业北师大版选修一、选择题1.设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A.(6,+∞)B.[6,+∞)C.(3,+∞)D.[3,+∞)解析:∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,∴=3,即p=6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为,∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3,+∞).答案:D 2.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( )A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在解析:由定义
2、AB
3、=5+
4、2=7,∵
5、AB
6、min=4,∴这样的直线有且仅有两条.答案:B 3.[xx·安徽省合肥六中月考]已知P为抛物线y2=4x上一个动点,直线l1:x=-1,l2:x+y+3=0,则P到直线l1,l2的距离之和的最小值为( )A.2B.4C.D.+1解析:本题主要考查抛物线的性质的应用.将P点到直线l1:x=-1的距离转化为P到焦点F(1,0)的距离,过点F作直线l2的垂线,交抛物线于点P,此即为所求最小值点,∴P到两直线的距离之和的最小值为=2,故选A.答案:A 4.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若·=-4,则点A的坐标是( )A.(2,±2)B.(1,±2
7、)C.(1,2)D.(2,2)解析:F(1,0),设A(,y0),则=(,y0),=(1-,-y0),由·=-4得到y0=±2.∴A(1,±2).答案:B 二、填空题5.抛物线顶点在坐标原点,以y轴为对称轴,过焦点且与y轴垂直的弦长为16,则抛物线方程为__________.解析:∵过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍.∴所求抛物线的方程为x2=±16y.答案:x2=±16y6.抛物线y=x2上到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标是__________.解析:把直线2x-y-4=0平移至与抛物线y=x2相切时,切点即为所求.设此时直线方程为2x-y+b=0,联立y=x2,得x2-
8、2x-b=0,由题意得Δ=4+4b=0,b=-1.即x2-2x+1=0,解x=1,y=1.答案:(1,1)7.[xx·江西高考]抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________.解析:如图,在正三角形ABF中,DF=p,BD=p,∴B点坐标为(p,-).又点B在双曲线上,故-=1,解得p=6.答案:6三、解答题8.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且
9、AM
10、=,
11、AF
12、=3,求此抛物线的标准方程及准线方程.解:设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),设A(x0,
13、y0),M(0,-),∵
14、AF
15、=3,∴y0+=3,∵
16、AM
17、=,∴x+(y0+)2=17,∴x=8代入方程x=2py0得,8=2p(3-),解得p=2或p=4.∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.准线方程为y=-1或y=-2.9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于.若存在,求直线l的方程;若不存在,说明理由.解:(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,∴p=2,故所求的抛物线方程为y2=4x,
18、其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t,由得y2+2y-2t=0,因为直线l与抛物线C有公共点,所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.另一方面,由直线OA与直线l的距离等于可得=,∴t=±1,由于-1∉,1∈,所以符合题意的直线l存在,其方程为y=-2x+1.
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