2019-2020年高考数学大一轮复习 课时限时检测（十五）导数的应用（二）

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1、2019-2020年高考数学大一轮复习课时限时检测（十五）导数的应用（二）一、选择题(每小题5分，共30分)1．若直线y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为(　　)A．－2＜m＜2　　　　　　B．－2≤m≤2C．m＜－2或m＞2D．m≤－2或m≥2【答案】　A2．在R上可导的函数f(x)的图象如图2－12－1所示，则关于x的不等式x·f′(x)＜0的解集为(　　)图2－12－1A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－2，－1)∪(1,2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【答案】　A3．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在

2、区间上的值域为(　　)A.B.C．[1，e]D．(1，e)【答案】　A4．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　)A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)【答案】　B5．如图2－12－2，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图象大致为(　　)图2－12－2【答案】　A6．设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，0

3、x)<1；当x∈(0，π)且x≠时，f′(x)>0.则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为(　　)A．2　　　　B．4C．5　　　　D．8【答案】　B二、填空题(每小题5分，共15分)7．若f(x)＝xsinx＋cosx，则f(－3)，f，f(2)的大小关系为________．【答案】　f(－3)＜f(2)＜f8．若函数f(x)满足：“对于区间(1,2)上的任意实数x1，x2(x1≠x2)，

4、f(x2)－f(x1)

5、＜

6、x2－x1

7、恒成立”，则称f(x)为完美函数，给出以下四个函数①f(x)＝；②f(x)＝

8、x

9、；③f(x)＝x；④f(x)＝x2.其中是完美函

10、数的序号是________．【答案】　①③9．已知函数f(x)＝x2＋mx＋lnx是单调递增函数，则m的取值范围是________．【答案】　{m

11、m≥－2}三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知定义在区间[－2，t](t＞－2)上的函数f(x)＝(x2－3x＋3)ex.(1)当t＞1时，求函数y＝f(x)的单调区间；(2)设m＝f(－2)，n＝f(t)，试证明m＜n.【解】　(1)f′(x)＝(2x－3)ex＋ex(x2－3x＋3)＝exx(x－1)．由于t＞1，故当x∈(－2,0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(

12、x)单调递减，当x∈(1，t)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．综上，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－2,0)，(1，t)；单调递减区间为(0,1)．(2)m＝f(－2)＝13e－2，n＝f(t)＝(t2－3t＋3)et，设h(t)＝n－m＝(t2－3t＋3)et－13e－2，h′(t)＝(2t－3)et＋et(t2－3t＋3)＝ett(t－1)(t＞－2)．h(t)，h′(t)随t的变化情况如下表：t(－2,0)0(0,1)1(1，＋∞)h′(t)＋0－0＋h(t)极大值极小值由上表可知h(t)的极小值为h(1)＝e－＝＞0，又h(－2)＝0，所以当t＞－2时，h(

13、t)＞h(－2)＝0，即h(t)＞0，因此，n－m＞0，即m＜n.11．(12分)成都市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研．据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k(k＞0)．现已知相距36km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．(1)试将y表示为x的函数；(2)若a＝1时，y在x＝6处取得最小值，试求b的值．【解】　(1)设点C受A污染源污染指数为，点C受B污染源污染指数为，其中k为

14、比例系数，且k＞0.从而点C处污染指数y＝＋(0＜x＜36)．(2)因为a＝1，所以，y＝＋，y′＝k，令y′＝0，得x＝，当x∈时，函数单调递减；当x∈时，函数单调递增．∴当x＝时，函数取得最小值又此时x＝6，解得b＝25，经验证符合题意．所以，污染源B的污染强度b的值为25.12．(13分)(理)设f(x)＝＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3.(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的方程；(2)如果存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x