2019-2020年高中数学北师大版选修1-2第三章《推理与证明》（第3课时 综合法与分析法）精品学案

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1、2019-2020年高中数学北师大版选修1-2第三章《推理与证明》（第3课时综合法与分析法）精品学案1.结合已经学过的实例,了解直接证明的方法——综合法与分析法,知道综合法与分析法的思考过程和特点.2.通过对综合法与分析法的学习,体会数学思维的严密性、抽象性、科学性,养成缜密思维的习惯.3.通过综合法和分析法的学习,体会这两种方法相辅相成、辩证统一的关系.重点:会用综合法、分析法证明问题,了解综合法、分析法的思考过程.难点:根据问题的特点,结合综合法、分析法的思考过程及特点,选择适当的证明方法.我们都学过韦达定理.若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b

2、2-4ac≥0)的两个根,则有x1+x2=-,x1x2=.那么韦达定理要如何证明呢?问题1:综合法一般地,从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发,经过一系列推理论证,推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫　综合法　. 综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题.问题2:分析法的特点分析法的思维特点是执果索因,即从结论逐步挖掘已知.问题3:用框图表示综合法与分析法的证明过程(1)综合法可用框图表示为:(用P表示已知条件,已有的定义、公理、定理等

3、,Q表示所要证明的结论)P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q.(2)若用Q表示要证明的结论,分析法可用框图表示为:Q⇐P1→P1⇐P2➝P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.问题4:分析法与综合法的联系与区别分析法与综合法是两种思路相反的推理方法.分析法是倒溯,综合法是　顺推　,二者各有优缺点,分析法容易探路,且探路与　表述　合一,缺点是表述过程容易出错.综合法条理　清晰　,易于　表述　,但思路不太好想.因此将二者交互使用,互补优缺点形成分析综合法,其逻辑基础是充分条件与必要条件,也就是用　分析法　寻找解题思路,用　综合法　加以表述. 费马大定理,又被称为“费

4、马最后的定理”,由法国数学家费马提出.他断言:当整数n>2时,关于x,y,z的方程xn+yn=zn没有正整数解.该定理被提出后,历经三百多年的历史,最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明.1.下列说法不正确的是(　　).A.综合法是由因导果的顺推证法B.分析法是执果索因的逆推证法C.综合法与分析法都是直接证法D.综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用【答案】D2.已知m>1,a=-,b=-,则以下结论正确的是(　　).A.a>b　　　　　　　B.a

5、+2与4m的大小,因为2m+2<2m+2m=4m,所以a=x2,即x0,f(x)=+是R上的偶函数,求a的值.【解析】∵f(x)是R上的偶函数,∴f(-x)=f(x),∴(a-)(ex-)=0对于一切x∈R成立,由此得a-=0,即a2=1,又a>0,∴a=1.综合法的应用如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)证明:CD⊥AE,(2)

6、证明:PD⊥平面ABE.【方法指导】解答本题可先明确线线、线面垂直的判定及性质定理,再用定理进行证明.【解析】(1)在四棱锥P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD,∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA,∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD,∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB,又AB⊥AD,PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,∴AB⊥PD,又∵AB∩A

7、E=A,∴PD⊥平面ABE.【小结】综合法是“由因导果”,它是中学数学证明中常用的一种方法,它是一种从已知到未知的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证结论的真实性.分析法的应用已知a>0,b>0,且a+b=1,试用分析法证明不等式(a+)(b+)≥.【方法指导】化简不等式可运用分析法证明得出结论.【解析】要证(a+)(b+)≥,只需证ab+≥,只需证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0,只需证4(ab)2+4(1-2ab)-25ab+4≥0,只需证4