科学计算与数学建模绪论

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1、科学计算与数学建模中南大学数学科学与计算技术学院——绪论数学建模及其重要意义2数值方法与误差分析3误差的种类及其来源4算法的相对稳定性85绝对误差和相对误差6有效数字及其误差的关系7误差的传播与估计1数学与科学计算第一章　科学计算与数学建模绪论§1数学与科学计算数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系。数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长于处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。随着计算机技

2、术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。了解或掌握科学计算的基本方法、数学建模的过程和基本方法已成为科技人才必需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是当代大学生，尤其是理工科大学生必备的数学素质。科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少

3、的纽带和工具。§2数学建模过程及其重要意义1.2.1数学建模过程实践理论实践演绎法数值法解析解数值解求解方法现实世界现实问题的信息验证表述解释数学模型数学模型的解答数学世界？求解现实问题的解答1.2.2数学建模的一般步骤模型应用模型检验模型分析模型求解模型假设模型构成模型准备在合理与简化之间作出折中作出合理的、简化的假设针对问题特点和建模目的模型假设形成一个比较清晰的数学问题掌握对象特征搜集有关信息明确建模目的了解实际背景模型准备确保模型的合理性、适用性实际问题模型应用模型检验模型分析模型求解模型构成与实际现象、

4、数据比较如：结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析各种数学方法、软件和计算机技术尽量使用简单的数学工具用数学的语言、符号描述问题1.2.3数学建模意义在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地美国科学院一位院士总结了将数学转化为生产力过程中的成功和失败，得出了“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”的结论，认为数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争力是有重要意义”，而“计算和建模重新成为中心

5、课题，它们是数学科学技术转化的主要途径”。作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模自然有着与数学同样悠久的历史。进入20世纪以来，随着数学以空前的广度和深度向一切领域的渗透，以及计算机的出现与飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视，数学建模在现实世界中有着重要意义。所谓数值计算方法，是指将所欲求解的数学模型（数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑运算，以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性及其误差进行分析、计算。什么叫做误差？误差的种类有哪些呢？数值计算方法注意：这里所说的“算法”，不只是单纯

6、得数学公式，而且是指由基本的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题的方案和步骤。§3数值方法与误差分析数值方法已成为科学研究的第三种基本手段。所谓数值方法，是指将所欲求解的数学模型（数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑运算，以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收敛性和误差进行分析、计算。这里所说的“算法”，不只是单纯的数学公式，而且是指由基本的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步骤。一般可以通过框图（流程图）来较直观地描述算法的全貌。选定适合的算法是整个数值计算中非常重要的一环。例如，当计算多项式的值

7、时，再逐项相加，共需做次乘法和次加法。若直接计算时需做55次乘法和10次加法。来计算时，只要做n次乘法和次加法即可。数值计算过程中会出现各种误差，它们可分为两大类：对于小型问题，计算的速度和占用计算机内存的多少似乎意义不大。但对于复杂的大型问题而言，却是起着决定性作用。算法取得不恰当，不仅影响到计算的速度和效率，还会由于计算机计算的近似性和误差的传播、积累直接影响到计算结果的精度甚至直接影响到计算的成败。不合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而使计算最终失败，这就是算法的数值稳定性问题。若用著名秦九韶（我

8、国宋朝数学家）算法，将多项式改成“过失误差”或“疏忽误差”：算题者在工作中的粗心大意而产生的，例如笔误以及误用公式等。它完全是人为造成的，只要工作中仔细、谨慎，是完全可以避免的数值计算误差“非过失误差”：在数值计算中这往往是无法避免的，例如近似值带来的误差，模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差等。对于“非过失误差”，应该设法尽量降低其数值，尤其要控制住经多次运算后误差的