（京津鲁琼专用）2020版高考数学第二部分专题六函数与导数第3讲导数的简单应用练习（含解析）

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1、第3讲　导数的简单应用[做真题]题型一　导数的几何意义1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为(　　)A．y＝－2x　　　　　B．y＝－xC．y＝2xD．y＝x解析：选D.法一：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以

2、f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.法二：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.2．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1

3、，b＝－1解析：选D.因为y′＝aex＋lnx＋1，所以y′

4、x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以解得3．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________．解析：因为y＝2ln(x＋1)，所以y′＝.当x＝0时，y′＝2，所以曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.答案：y＝2x4．(2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(

5、x＋1)的切线，则b＝________．解析：设y＝kx＋b与y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．则切线分别为y－lnx1－2＝(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝(x－x2)，化简得y＝x＋lnx1＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)，依题意，解得x1＝，从而b＝lnx1＋1＝1－ln2.答案：1－ln2题型二　导数与函数的单调性、极值与最值1．(2017·高考全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)A．－1B．－2e－3C．

6、5e－3D．1解析：选A.因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令f′(x)>0，解得x<－2或x>1，令f′(x)<0，解得－2

7、f(x)取得极小值，且f(x)极小值＝f(1)＝－1，选择A.2．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．解析：法一：因为f(x)＝2sinx＋sin2x，所以f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝4cos2x＋2cosx－2＝4(cosx＋1)，由f′(x)≥0得≤cosx≤1，即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，由f′(x)≤0得－1≤cosx≤，即2kπ＋π≥x≥2kπ＋或2kπ－π≤x≤2kπ－，k∈Z，所以当x＝2kπ－(k∈Z)时，f(x)取得最小值，且f(

8、x)min＝f＝2sin＋sin2＝－.法二：因为f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)＝4sincos·2cos2＝8sincos3＝，所以[f(x)]2＝×3sin2cos6≤·＝，当且仅当3sin2＝cos2，即sin2＝时取等号，所以0≤[f(x)]2≤，所以－≤f(x)≤，所以f(x)的最小值为－.答案：－[山东省学习指导意见]1．导数概念及其几何意义了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵，理解导数的几何意义．2．导数的运算(1)能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝的导数．(2)能利用导数

9、公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数．3．导数在研究函数中的应用(1)结合实例，了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不