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《2019-2020年高考数学大一轮复习第九章解析几何课时达标检测五十一圆锥曲线中的定点定值存在性问题理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019-2020年高考数学大一轮复习第九章解析几何课时达标检测五十一圆锥曲线中的定点定值存在性问题理一、全员必做题1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，C是B1F2的中点，若·＝2，且⊥.(1)求椭圆的方程；(2)点Q是椭圆上任意一点，A1，A2分别是椭圆的左、右顶点，直线QA1，QA2与直线x＝分别交于E，F两点，试证：以EF为直径的圆与x轴交于定点，并求该定点的坐标．解：(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)，B1(0，b)，则C.由题意得即
2、即解得从而a2＝4，故所求椭圆的方程为＋＝1.(2)证明：由(1)得A1(－2,0)，A2(2,0)，设Q(x0，y0)，易知x0≠±2，则直线QA1的方程为y＝(x＋2)，与直线x＝的交点E的坐标为，，直线QA2的方程为y＝(x－2)，与直线x＝的交点F的坐标为，设以EF为直径的圆与x轴交于点H(m,0)，m≠，则HE⊥HF，从而kHE·kHF＝－1，即·＝－1，即＝－2，①由＋＝1得y＝.②所以由①②得m＝±1，故以EF为直径的圆与x轴交于定点，且该定点的坐标为或.2．在平面直角坐标系xOy中，已
3、知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆E：＋y2＝1上的非坐标轴上的点，且4kOA·kOB＋1＝0(kOA，kOB分别为直线OA，OB的斜率)．(1)证明：x＋x，y＋y均为定值；(2)判断△OAB的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解：(1)证明：依题意，x1，x2，y1，y2均不为0，则由4kOA·kOB＋1＝0，得＋1＝0，化简得y2＝－，因为点A，B在椭圆上，所以x＋4y＝4 ①，x＋4y＝4 ②，把y2＝－代入②，整理得(x＋4y)x＝16y.结合①得x＝4y，同理
4、可得x＝4y，从而x＋x＝4y＋x＝4，为定值，y＋y＝y＋＝1，为定值．(2)S△OAB＝
5、OA
6、·
7、OB
8、sin∠AOB＝··＝··＝＝
9、x1y2－x2y1
10、.由(1)知x＝4y，x＝4y，易知y2＝－，y1＝或y2＝，y1＝－，S△OAB＝
11、x1y2－x2y1
12、＝＝＝1，因此△OAB的面积为定值1.3．(xx·河北质量检测)已知椭圆E：＋＝1的右焦点为F(c,0)，且a＞b＞c＞0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且
13、
14、＋
15、
16、＝4
17、.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得2＝4·成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由椭圆的对称性知
18、
19、＋
20、
21、＝2a＝4，∴a＝2.又原点O到直线DF的距离为，∴＝，∴bc＝，又a2＝b2＋c2＝4，a＞b＞c＞0，∴b＝，c＝1.故椭圆E的方程为＋＝1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件．故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k2)x2－8k(2k－
22、1)x＋16k2－16k－8＝0，∴Δ＝32(6k＋3)＞0，∴k＞－.x1＋x2＝，x1x2＝，∵2＝4·，即4[(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)]＝5，∴4(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝5，即4[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝5，∴4(1＋k2)＝4×＝5，解得k＝±，k＝－不符合题意，舍去．∴存在满足条件的直线l，其方程为y＝x.二、重点选做题1．A为曲线y＝－上任意一点，点B(2,0)为线段AC的中点．(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)过轨迹E的焦点
23、F作直线交轨迹E于M，N两点，在圆x2＋y2＝1上是否存在一点P，使得PM，PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设C(x，y)，A(m，n)，因为B(2,0)是AC的中点，所以所以又n＝－，所以所求方程为x2＝4y.(2)假设存在点P(x0，y0)，设M，N，直线MN的方程为y＝kx＋1，联立得x2－4kx－4＝0，则切线PM的方程为y－＝(x－x1)，将点P(x0，y0)代入化简得x－2x1x0＋4y0＝0，同理得x－2x2x0＋4y0＝0，所以知x1，x
24、2是方程x2－2x0x＋4y0＝0的两根，则x1x2＝4y0＝－4，所以y0＝－1，代入圆的方程得x0＝0，所以存在点P(0，－1)，使得PM，PN分别为轨迹E的切线．2．已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的一个顶点坐标为(0,1)，离心率为，动直线y＝x＋m交椭圆M于不同的两点A，B，T(1,1)．(1)求椭圆M的标准方程；(2)试问：△TAB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意得＝，b＝1，又a2＝b2＋
