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《2019-2020年高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测四十七圆锥曲线中的定点定值存在性问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019-2020年高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测四十七圆锥曲线中的定点定值存在性问题一、全员必做题1．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，C是B1F2的中点，若·＝2，且⊥.(1)求椭圆的方程；(2)点Q是椭圆上任意一点，A1，A2分别是椭圆的左、右顶点，直线QA1，QA2与直线x＝分别交于E，F两点，试证：以EF为直径的圆与x轴交于定点，并求该定点的坐标．解：(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)，B1(0，b)，则C.由题意得即
2、即解得从而a2＝4，故所求椭圆的方程为＋＝1.(2)证明：由(1)得A1(－2,0)，A2(2,0)，设Q(x0，y0)，易知x0≠±2，则直线QA1的方程为y＝(x＋2)，与直线x＝的交点E的坐标为，，直线QA2的方程为y＝(x－2)，与直线x＝的交点F的坐标为，设以EF为直径的圆与x轴交于点H(m,0)，m≠，则HE⊥HF，从而kHE·kHF＝－1，即·＝－1，即＝－2，①由＋＝1得y＝.②所以由①②得m＝±1，故以EF为直径的圆与x轴交于定点，且该定点的坐标为或.2．(xx·江苏省淮安市高三
3、期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：＋y2＝1的左顶点A作直线l，与椭圆C和y轴正半轴分别交于点P，Q.(1)若AP＝PQ，求直线l的斜率；(2)过原点O作直线l的平行线，与椭圆C交于点M，N，求证：为定值．解：(1)依题意，椭圆C的左顶点A(－2,0)，设直线l的斜率为k(k＞0)，点P的横坐标为xP，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．①又椭圆C：＋y2＝1，②由①②得，(4k2＋1)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，则－2·xP＝，从而xP＝.因为AP＝PQ，所以xP＝－1.所以
4、＝－1，解得k＝(负值已舍)．(2)证明：设点N的横坐标为xN.结合(1)知，直线MN的方程为y＝kx.③由②③得，x＝.从而＝＝＝，即证．3.如图，椭圆长轴的端点为A，B，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且·＝1，
5、
6、＝1.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则c＝1，又∵·＝(a＋c)·(a－c)＝a2－c2＝1.∴
7、a2＝2，b2＝1，故椭圆的方程为＋y2＝1.(2)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∵M(0,1)，F(1,0)，∴直线l的斜率k＝1.于是设直线l为y＝x＋m，由得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，x1＋x2＝－m，x1x2＝.∵·＝x1(x2－1)＋y2(y1－1)＝0.又yi＝xi＋m(i＝1,2)，∴x1(x2－1)＋(x2＋m)(x1＋m－1)＝0，即2x1x2＋(x1＋x2)(m－1)＋m2－m＝0.即2·－(m－1)＋m2
8、－m＝0，解得m＝－或m＝1，当m＝1时，M，P，Q三点不能构成三角形，不符合条件，故存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，直线l的方程为y＝x－.二、重点选做题1．(xx·淮阴中学模拟)如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的顶点A1，A2，B1，B2，SA1B2A2B1＝4，直线y＝x＋与圆O：x2＋y2＝b2相切．(1)求椭圆C的离心率；(2)若P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线A1P交y轴于点F，直线A1B1交B2P于点E.若设B2P的斜率为k，探究EF是否过定点？若有求出其定点，若没有，说明
9、理由．解：(1)因为直线y＝x＋与圆O相切，所以＝b，即b＝1，又因为SA1B2A2B1＝4，所以×2a×2b＝4，所以a＝2，所以椭圆C的方程：＋y2＝1，所以离心率e＝＝.(2)由(1)可知A1(－2,0)，B1(0，－1)，B2(0,1)，因为B2P的斜率为k，所以直线B2P的方程为y＝kx＋1，由得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，其中xB2＝0，所以xP＝－，所以P，则直线A1P的斜率kA1P＝＝－，直线A1P的方程为y＝－(x＋2)，令x＝0，则y＝－，即F，因为直线A1B1的方程为x＋
10、2y＋2＝0，由解得所以E，所以EF的斜率k0＝＝－，所以直线EF的方程为y＝－x－，所以2k(x＋y＋1)－(y－1)＝0，所以可求定点为(－2,1)，即直线EF是过定点(－2,1)．2．已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点坐标为(0,1)，离心率为，动直线y＝x＋m交椭圆M于不同的两点A，B，T(1,1)．(1)求椭圆M的标准方程；(2)试问：△TAB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意得＝，b＝1，又a2＝b2＋c2，所以
