沪科版2019秋九年级数学上册专题 2.难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)

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1、难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)——代几结合，突破面积及点的存在性问题　　　　　　　　　　　　　　　　类型一　抛物线与三角形的综合一、求最值1．(龙东中考)如图，抛物线y＝x2－bx＋c交x轴于点A(1，0)，交y轴于点B，对称轴是直线x＝2.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二、求直角(或等腰或相似)三角形的存在性问题2．(2016·凉山州中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－

2、3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．【易错6】3．★(2016·南宁中考)如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，与直线y＝x－2交于B，C两点．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)求证：△ABC是直角三角形；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N

3、的坐标；若不存在，请说明理由．三、与面积相关的问题4．(2016·台湾中考)如图，坐标平面上，二次函数y＝－x2＋4x－k的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0.若△ABC与△ABD的面积比为1∶4，则k的值为(　　)A．1B.C.D.5．(2016·日照中考)如图，抛物线y＝－[(x－2)2＋n]与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋3，0)(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC.(1)求m，n的值；(2)点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN，BN.求△NBC面积的最大值．类型二　抛物线与特殊四边形的综

4、合6．(2016·盐田区二模)抛物线y＝－x2＋6x－9的顶点为A，与y轴的交点为B，如果在抛物线上取点C，在x轴上取点D，使得四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是(　　)A．(－6，0)B．(6，0)C．(－9，0)D．(9，0)7．如图，在平面直角坐标系中，沿着两条坐标轴摆着三个相同的矩形，其长、宽分别为4，2，则过A，B，C三点的拋物线的函数关系式是________________．第7题图　　　第8题图8．(2016·余干县三模)如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2(a＜0)的图象上

5、，则a的值为________．9．(2016·百色中考)正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线l经过O，P，A三点，点E是正方形内的抛物线l上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O，P，A三点坐标；②求抛物线l的解析式；(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值．参考答案：1．解：(1)由题意得解得∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3；(2)存在．∵点A与点C关于直线x＝2对称，∴连接BC与直线x＝2交于点P，则点P即为所求．根据抛物线的对称性可知点C的坐标为(3，0)．∵y＝x2－4x＋3，∴点B的坐标为(0，3)．设直线BC的

6、解析式为y＝mx＋n，则解得∴直线BC的解析式为y＝－x＋3，∴直线BC与直线x＝2的交点坐标为(2，1)，即点P的坐标为(2，1)．2．解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)代入抛物线y＝ax2＋bx＋c中，得解得∴抛物线的函数关系式为y＝x2－2x－3；(2)当点P在x轴上，P，A，B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短，此时x＝－＝1，故点P的坐标为(1，0)；(3)点M的坐标为(1，－1)，(1，)，(1，－)，(1，0)．　解析：抛物线的对称轴为直线x＝－＝1.设点M的坐标为(1，m)．已知A(－1，0)，C(0，

7、－3)，则MA2＝m2＋4，MC2＝(m＋3)2＋1＝m2＋6m＋10，AC2＝12＋32＝10.①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得m2＋4＝m2＋6m＋10，解得m＝－1；②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得m2＋4＝10，解得m＝±；③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得m2＋6m＋10＝10，解得m1＝0，m2＝－6，当m＝－6时，M，A，C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上所述，符合条件的点M的坐标为(1，－1),(1，)，(1，－)，(1，0)．3．(1)解：∵顶点坐标为(1，1)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋1.又∵抛物

8、线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a＝－1，∴抛物线的解析式