2006考研数一真题及解析

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1、20062006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1).(2)微分方程的通解是.(3)设是锥面()的下侧，则.(4)点到平面的距离=.(5)设矩阵，为阶单位矩阵，矩阵满足，则=.(6)设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则=.二、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则()(A)(B)(C)(D)(8)设为连续

2、函数，则等于()(A)(B)(C)(D)(9)若级数收敛，则级数()(A)收敛.(B)收敛.162006(C)收敛.(D)收敛.(10)设与均为可微函数，且.已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是()(A)若，则.(B)若，则.(C)若，则.(D)若，则.(11)设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是()(A)若线性相关，则线性相关.(B)若线性相关，则线性无关.(C)若线性无关，则线性相关.(D)若线性无关，线性无关.(12)设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则()(A)(B)(C)(D)(13)设为随机事件，且，则必有

3、()(A)(B)(C)(D)(14)设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且则必有()162006(A)(B)(C)(D)三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设区域,计算二重积分.(16)(本题满分12分)设数列满足.(I)证明存在,并求该极限；(II)计算.(17)(本题满分12分)将函数展开成的幂级数.(18)(本题满分12分)设函数在内具有二阶导数，且满足等式(I)验证.(II)若求函数的表达式.(19)(本题满分12分)设在上半平面内,函数是有连续偏导数,且对任意的都有

4、.证明:对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有(20)(本题满分9分)162006已知非齐次线性方程组有个线性无关的解(I)证明方程组系数矩阵的秩;(II)求的值及方程组的通解.(21)(本题满分9分)设阶实对称矩阵的各行元素之和均为,向量是线性方程组的两个解.(I)求的特征值与特征向量(II)求正交矩阵和对角矩阵,使得.(22)(本题满分9分)随机变量的概率密度为为二维随机变量的分布函数.求(I)的概率密度;(II).(23)(本题满分9分)设总体的概率密度为.为来自总体的简单随机样本,记为样本值中小于的个数,求的最大似然估计.1620062006年全国硕士研究生入学统一

5、考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】2.【详解】由等价无穷小替换，时，，=2(2)【答案】.【详解】分离变量，(3)【答案】【详解】补一个曲面,取上侧，则组成的封闭立体满足高斯公式，设，则∴(为锥面和平面所围区域)(为上述圆锥体体积)注：以下几种解法针对于不同的方法求圆锥体体积方法1：(高中方法，圆锥的体积公式，这种方法最简便)而(在上：)方法2：先二重积分，后定积分.因为，，，，，所以.从而162006方法3：利用球面坐标.在球坐标下为：，方法4：利用柱面坐标.(4)【答案】【详解】代入点到平面的距离公式(5)【答案】【详解】由已知条件变形得，,两边取行列式,得其中，

6、，因此，.(6)【答案】【详解】根据独立性原理：若事件独立，则162006事件，而随机变量与均服从区间上的均匀分布，有和.又随机变量与相互独立，所以，二、选择题.(7)【答案】【详解】方法1：图示法.Ox0x0+Δxxyy=f(x)Δydy因为则严格单调增加；因为则是凹函数，又，画的图形结合图形分析，就可以明显得出结论：.方法2：用两次拉格朗日中值定理(前两项用拉氏定理)(再用一次拉氏定理),其中由于，从而.又由于，故选方法3：用拉格朗日余项一阶泰勒公式.泰勒公式：，其中.此时取1代入，可得又由，选.162006(8)【答案】【详解】记，则区域的极坐标表示是：，.题目考察极坐

7、标和直角坐标的互化问题，画出积分区间，结合图形可以看出，直角坐标的积分范围(注意与在第一象限的交点是)，于是所以，原式.因此选(9)【答案】【详解】方法1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛因为收敛，所以也收敛，所以收敛，从而也收敛.选D.方法2：记，则收敛.但，(级数，级数发散)；(级数，级数发散)均发散。由排除法可知，应选D.(10)【答案】【详解】方法1：化条件极值问题为一元函数极值问题。已知，由，在邻域，可确定隐函数，满足，。是在条件下的一个极值点是的极值点。它的必要条件是