2006考研数二真题与解析

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1、2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1)曲线的水平渐近线方程为(2)设函数在处连续，则(3)广义积分(4)微分方程的通解是(5)设函数确定，则(6)设,为2阶单位矩阵，矩阵满足,则.二、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数具有二阶导数，且为自变量在点处的增量，与分别为在点处对应增量与微分，若，则()(A)(B)(C)(D)(8)设是奇函数，除外处处

2、连续，是其第一类间断点，则是()(A)连续的奇函数(B)连续的偶函数(C)在间断的奇函数(D)在间断的偶函数(9)设函数可微，则等于()(A)(B)(C)(D)(10)函数满足的一个微分方程是()(A)(B)(C)(D)(11)设为连续函数，则等于()(A)(B)(C)(D)(12)设均为可微函数，且在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是()(A)若(B)若(C)若(D)若(13)设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是()(A)若线性相关，则线性相关.(B)若线性相关，则线性无关.(C)若线性无关，则线性相关.(D)若线性无关，则

3、线性无关.(14)设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则()(A)(B)(C)(D)三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)试确定常数的值，使得，其中是当时比高阶的无穷小.(16)(本题满分10分)求(17)(本题满分10分)设区域，计算二重积分(18)(本题满分12分)设数列满足，(I)证明存在，并求该极限;(II)计算.(19)(本题满分10分)证明：当时，.(20)(本题满分12分)设函数内具有二

4、阶导数，且满足等式(I)验证;(II)若,求函数.(21)(本题满分12分)已知曲线的方程(I)讨论的凹凸性;(II)过点引的切线，求切点，并写出切线的方程;(III)求此切线与(对应的部分)及轴所围成的平面图形的面积.(22)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解.(I)证明此方程组系数矩阵的秩;(Ⅱ)求的值及方程组的通解.(23)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.(I)求的特征值与特征向量;(II)求正交矩阵和对角矩阵,使得.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

5、解析一、填空题(1)【答案】【详解】由水平渐近线的定义及无穷小量的性质----“无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量”可知时为无穷小量，，均为有界量.故，是水平渐近线.(2)【答案】【详解】按连续性定义，极限值等于函数值，故注：型未定式，可以采用洛必达法则；等价无穷小量的替换(3)【答案】【详解】(4)【答案】.【详解】分离变量，(5)【答案】【详解】题目考察由方程确定的隐函数在某一点处的导数.在原方程中令.将方程两边对求导得，令得(6)【答案】【详解】由已知条件变形得，,两边取行列式,得其中，，因此，.二、选择题.(7)【答案】【详解】

6、方法1：图示法.Ox0x0+Δxxyy=f(x)Δydy因为则严格单调增加；因为则是凹函数，又，画的图形结合图形分析，就可以明显得出结论：.方法2：用两次拉格朗日中值定理(前两项用拉氏定理)(再用一次拉氏定理),其中由于，从而.又由于，故选方法3：用拉格朗日余项一阶泰勒公式.泰勒公式：，其中.此时取1代入，可得又由，选.(8)【答案】()【详解】方法1：赋值法特殊选取，满足所有条件，则.它是连续的偶函数.因此，选()方法2：显然在任意区间上可积，于是处处连续，又即为偶函数.选().(9)【答案】()【详解】利用复合函数求导法两边对求导将

7、代入上式，.故选().(10)【答案】()【详解】题目由二阶线性常系数非齐次方程的通解，反求二阶常系数非齐次微分方程，分两步进行，先求出二阶常系数齐次微分方程的形式，再由特解定常数项.因为是某二阶线性常系数非齐次方程的通解，所以该方程对应的齐次方程的特征根为1和-2，于是特征方程为，对应的齐次微分方程为所以不选()与()，为了确定是()还是()，只要将特解代入方程左边，计算得，故选().(11)【答案】【详解】记，则区域的极坐标表示是：，.题目考察极坐标和直角坐标的互化问题，画出积分区间，结合图形可以看出，直角坐标的积分范围（注意与在第

8、一象限的交点是），于是所以，原式.因此选(12)【答案】【详解】方法1：化条件极值问题为一元函数极值问题。已知，由，在邻域，可确定隐函数，满足，。是在条件下的一个极值点是的极值点。它的必要条件是若，则，或，