2019-2020年高三上学期期末质量抽测数学文试题 含解析

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昌平区xx－xx学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（文科）2019-2020年高三上学期期末质量抽测数学文试题含解析考生须知：1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。3．答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）若集合，，则A．B．C．D．或【考点】集合的运算【试题解析】或，，所以。【答案】B（2）下列函数中，为偶函数的是（）A.B.C.D.【考点】函数的奇偶性【试题解析】因为偶函数的图像关于y轴对称，所以结合函数图像知：是偶函数。【答案】D（3）已知向量，，若，则的值为A.B.C.D.【考点】平面向量坐标运算 【试题解析】若，则【答案】C（4）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A.36B.18C.12D．6【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】由题知：【答案】D（5）设，则的大小关系为A．B．C．D．【考点】对数与对数函数指数与指数函数【试题解析】因为所以。【答案】C（6）在等比数列中，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件【试题解析】在等比数列中，，则成立，反过来若，则，故不成立，所以“”是“”的充分不必要条件。【答案】A（7）若满足且的最大值为6，则的值为A．B．1C．D．【考点】线性规划【试题解析】 作可行域： A(-2，1)，B(k，k+3)，C(k，-k-1)．由图知：当目标函数线过B点时，目标函数值最大，为【答案】B（8）xx年12月7日，北京首次启动空气重污染红色预警.其应急措施包括：全市范围内将实施机动车单双号限行（即单日只有单号车可以上路行驶，双日只有双号车可以上路行驶），其中北京的公务用车在单双号行驶的基础上，再停驶车量总数的30%.现某单位的公务车，职工的私家车数量如下表：公务车私家车单号（辆）10135双号（辆）20120根据应急措施，12月8日，这个单位需要停驶的公务车和私家车一共有A．154辆B．149辆C．145辆D．140辆【考点】函数综合【试题解析】因为12月8日是双号，所以停驶的私家车有135辆，停驶的公务车有：10+辆。所以12月8日，这个单位需要停驶的公务车和私家车一共有135+19=154辆。【答案】A第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）已知复数，则____________.【考点】复数乘除和乘方 【试题解析】所以【答案】（10）若直线与圆相切，则的值是_______.【考点】直线与圆的位置关系【试题解析】由题知：圆心为（2，-3），半径为因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为：，解得：的值是-12或-2。【答案】－12或－2（11）执行如图所示的程序框图，输出的值为______【考点】算法和程序框图【试题解析】由图知：s=1，i=1，是；i=2，s=是；i=3，s=是；i=4，s=否，故输出的S值为4．【答案】4（12）若双曲线的左支上一点到右焦点的距离是6，则点到左焦点的距离为.【考点】双曲线【试题解析】由双曲线的定义知：【答案】2（13）在中，，，，则；.【考点】倍角公式余弦定理【试题解析】由余弦定理得：所以A=B，所以【答案】3；（14）某大学进行自主招生时，要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示： 从这次测试看，甲、乙两位同学，总成绩排名更靠前的是___________；甲、丙两位同学，逻辑思维成绩排名更靠前的是____________.【考点】函数图象【试题解析】显然，由图1知：甲、乙两位同学中总成绩排名更靠前的是乙；由图1、2知：甲、丙两位同学中逻辑思维成绩排名更靠前的是甲。【答案】乙；甲三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)(15)（本小题满分13分）已知函数（I）求的最小正周期；（II）求的单调递增区间.【考点】三角函数的图像与性质恒等变换综合【试题解析】(1)所以最小正周期(2)由得所以函数的单调递增区间是【答案】见解析（16）（本小题满分13分）在等差数列中,（I）求数列的通项公式；（II）设数列，且数列是等比数列.若求数列的前项和.【考点】公式法，分组求和等差数列 【试题解析】　　（I）设等差数列的公差为，由得所以(II)由得.得.因为是等比数列，，所以所以所以【答案】见解析(17)（本小题满分13分）小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”,并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下：图1表1（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为17千步，18千步,19千步的几天中任选2天，求小王这2天通过“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里的概率.【考点】古典概型样本的数据特征【试题解析】(I)小王这8天每天“健步走”步数的平均数为（千步）.（II）设小王这2天通过“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里为事件“健步走”17千步的天数为2天，记为“健步走”18千步的天数为1天，记为“健步走”19千步的天数为2天，记为5天中任选2天包含基本事件有：共10个. 事件包含基本事件有：共3个.所以【答案】见解析(18)（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，，,为中点.与交于点O.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面;（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得？请说明理由.【考点】垂直平行【试题解析】（Ⅰ）证明:连结.在直三棱柱中,因为,所以四边形为正方形,所以为中点.因为为中点，所以为的中位线,所以因为平面,平面,所以平面.……………………4分（Ⅱ）在直三棱柱中,,,,所以平面,所以在正方形中,所以平面.（Ⅲ）存在取中点,连结,.所以.所以.因为,为中点,所以.因为,所以平面.所以.所以当为中点时,.【答案】见解析(19)（本小题满分13分）已知椭圆C的离心率为,点在椭圆C上.（I）求椭圆C的方程；（II）若直线与椭圆C交于A,B两点，线段AB中点为M,点O为坐标原点.证明：直线OM 的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.【考点】圆锥曲线综合椭圆【试题解析】（I）由题意得解得.所以椭圆的方程为（Ⅱ）法一：设，，．将代入得，故，．于是直线的斜率，即．所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．法二：设，，．则由得,则,即．所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．【答案】见解析(20)（本小题满分14分）已知函数．(Ⅰ)求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）设，若存在最大值，且当最大值大于时，确定实数的取值范围．【考点】导数的综合运用【试题解析】（Ⅰ）解：定义域为，.由题意，，，所以函数在点处的切线方程为.…………………4分 （Ⅱ）证明：当时，，可转化为当时，恒成立.设，所以.当时，，所以在上为减函数，所以，所以当时，成立.（Ⅲ）设，定义域为，所以.⑴当时，对于任意的，，所以在上为增函数，所以无最大值，即不符合题意.⑵当时，令，即，则.所以，变化如下：0+0-↗极大值↘因为.所以成立，即，令，，所以，即在上为增函数.又因为，所以当时，.所以，时，命题成立.综上，的取值范围为.【答案】见解析