振动方程的解

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1、一、无阻尼的自由振动振动方程+K=0，写作：+=0，记ω2=又可写作：+ω2=0---------------------------------------------（1）方程的解的形式为：=Acosωt+Bsinωt---------------------------------------------（2）初始条件为：，，代入方程的解（2）中，得：=cosωt+sinωt---------------------------------------------（3）二、有阻尼的自由振动振动方程+C+K=

2、0，写作：++=0，记ω2=，2n=，又可写作：+2n+ω2=0---------------------------------------------（4）利用常数变易法，令=代入方程（4）中得：+（ω2–n2）S(t)=0--------------------------------------------（5）1．当n>ω时（强阻尼）方程（5）的解为：S(t)=A1sh+A2ch从而，方程（4）的解为：==（A1sh+A2ch）---------------------（6）2．n=ω时（称为临界阻尼）

3、由（5）式得：=0S(t)=B1+B2t==（B1+B2t）-------------------------------------（7）此时，令ncr=ω=，Ccr=2mω（此式为确定临界阻尼的公式）当为一般情况时，n===ξω式中，ξ=称为阻尼比。对钢筋混凝土结构ξ<5%，一般取3%对钢结构ξ=1%—2%3）当n<ω时（弱阻尼）此时，记=，则（5）式可写成：+S(t)=0则，其解可仿（1），（2）式的形式，得：S(t)=Acosωdt+Bsinωdt从而，=（Acosωdt+Bsinωdt）=（Acosωd

4、t+Bsinωdt）-----------------------------------（8）初始条件：，，代入方程的解（8）中，写成简洁的形式：=Asin（ωdt+φ）一、无阻尼的强迫振动振动方程：+K=P（t）1．瞬时冲击荷载作用时的强迫振动特点：①作用时间与系统的自振周期相比很小P（t）②Δt时间内P（t）可视为常数设干扰力P（t）作用于系统的时间为Δtt由动量定理：Δtm（v-v0）=P（t-t0）若t0=0时v0=0则，v=于是，在（0，t）时间内系统产生的位移反应为：==由假设，干扰力作用的时间为Δ

5、t，则Δt时间内系统产生的速度反应和位移反应分别为：=，=和比较是高阶无穷小量，故可认为：Δt时间内，干扰力的作用近似的看作是初速度为=，初位移为==0的自由振动。由（3）式可知：=cosωt+sinωt=sinωt---------------------（9）若时间t不是从0开始，而是从τ开始的，则（9）式写为：=sinω（t-τ）---------------------------------------（10）1．一般性动力荷载P（t）作用于系统时考虑P（t）在（0，t）时间内作用于系统，P（t）认为是

6、由无数个瞬时冲击荷载的叠加，如图。考虑由时刻τ开始，在dτ时间内的位移反应，由（10）式可得：0ττ+dτtd=sinω（t-τ）则，在（0，t）时间内作用于系统，系统所产生的位移反应为：=sinω（t-τ）----------------------------------------（11）此式称为杜哈美积分（卷积、褶积）如果叠加自由振动部分，可得位移反应：=cosωt+sinωt+sinω（t-τ）---------------------------（12）但，通常情况下，自由振动部分由于阻尼的存在，一段

7、时间后会消失而仅剩下特解部分。3．突加长期常量荷载以P（t）=P代入（11）式可得：=（1-cosωt）=（1-cosωt）P（t）=P=（1-cosωt）=（1-cosωt）--------（13）t式中，=为静位移。显然，=2定义：μ=为动力系数。故，突加长期常量荷载的动力系数为24．突加短期常量荷载P（t）t1t10当0≤t≤t1时，由（13）式得：=（1-cosωt）------------------（14）20当t1≤t时，可看作是一个叠加的过程。由（13）式得：=（1-cosωt）-[1-cosω（

8、t-t1）]=2sinsin--------------------（15）讨论：①当发生时，sin=1，得：t1=（T为系统的自振周期）。故，当t1≥时，最大位移（此时，t1=）=2②当t1<时，最大位移=2sin5．简谐动力荷载以P（t）=Psinθt代入（11）得：==(sinθt-sinωt)=(sinθt-sinωt)----------------------