高考数学二轮复习专题三第1讲等差数列等比数列的基本问题案文

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1、第1讲　等差数列、等比数列的基本问题高考定位　1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.真题感悟1.(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)A.1B.2C.4D.8解析　设{an}的公差为d，由得解得d＝4.答案　C2.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是

2、上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏解析　设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则依题意S7＝381，公比q＝2.∴＝381，解得a1＝3.答案　B3.(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(　　)A.－24B.－3C.3D.8解析　根据题意得a＝a2·a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝0(舍去)，d＝－2，所以S6＝6a1＋d＝1×6＋×(－2)＝－24.答案　A4.(2017·全国Ⅱ卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn

3、，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；(2)若T3＝21，求S3.解　(1)设{an}公差为d，{bn}公比为q，由题设得解得或(舍去)，故{bn}的通项公式为bn＝2n－1.(2)由已知得解得或∴当q＝4，d＝－1时，S3＝－6；当q＝－5，d＝8时，S3＝21.考点整合1.等差数列(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；(2)求和公式：Sn＝＝na1＋d；(3)性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；②an＝am＋(n－m)d；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2

4、m，…，成等差数列.2.等比数列(1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)；(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝＝；(3)性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；②an＝am·qn－m；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比数列.温馨提醒　应用公式an＝Sn－Sn－1时一定注意条件n≥2，n∈N*.热点一　等差、等比数列的基本运算【例1】(1)(2015·全国Ⅰ卷)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和.若S8＝4S4，则a10＝(　　)A.B.C.10D.12(2)(2016·全国Ⅰ卷)设

5、等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________.解析　(1)设等差数列的首项为a1，则S8＝8a1＋＝8a1＋28，S4＝4a1＋＝4a1＋6，因为S8＝4S4，即8a1＋28＝16a1＋24，所以a1＝，则a10＝a1＋(10－1)d＝＋9＝.(2)由于{an}是等比数列，设an＝a1qn－1，其中a1是首项，q是公比.所以即解得故an＝，所以a1·a2·…·an＝＝＝.当n＝3或4时，取得最小值－6，此时取得最大值26.所以a1·a2·…·an的最大值为64.答案　(1)B　(2)64探究提高　1.第(2)题求解的思路是：先利用等

6、比数列的通项公式构建首项a1与公比q的方程组，求出a1，q，得到{an}的通项公式，再将a1a2·…·an表示为n的函数，进而求最大值.2.等差(比)数列基本运算的解题途径：(1)设基本量a1和公差d(公比q).(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.【训练1】(1)(2017·哈尔滨模拟)设Sn为等比数列{an}的前n项和，a3＝8a6，则的值为(　　)A.B.2C.D.5(2)(2017·北京卷)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.解析　(1)由a3＝8a6，

7、得a3＝8a3q3，解得q＝.则＝＝.(2){an}为等差数列，a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，∴d＝3，∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2.{bn}为等比数列，b1＝－1，b4＝8＝b1·q3＝－q3，∴q＝－2，∴b2＝b1·q＝2.则＝＝1.答案　(1)C　(2)1热点二　等差(比)数列的性质【例2】(1)(2017·汉中模拟)已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若log2a2＋log2a8＝2，则T9的值为(　　)A.±512B.512