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《高考数学一轮复习第4章第3讲平面向量的数量积及应用举例知能训练轻松闯关文》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3讲平面向量的数量积及应用举例1.已知A,B,C为平面上不共线的三点,若向量=(1,1),n=(1,-1),且n·=2,则n·等于( )A.-2 B.2C.0D.2或-2解析:选B.n·=n·(+)=n·+n·=(1,-1)·(-1,-1)+2=0+2=2.2.(2016·江西省九校联考)在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=30°,CD是边AB上的高,则·=( )A.-B.C.D.-解析:选B.·=·(+)=·+0=
2、
3、·
4、
5、·cos∠ACD=×3×cos60°=.3.已知
6、a
7、=1,a·b=,
8、a-b
9、2=1,则a与b的夹角等于( )A.30°B.45°C.60
10、°D.120°解析:选C.设a与b的夹角为θ,因为a·b=
11、a
12、
13、b
14、·cosθ=,且
15、a
16、=1,所以
17、b
18、cosθ=.①又
19、a-b
20、2=
21、a
22、2+
23、b
24、2-2a·b=1,即1+
25、b
26、2-1=1,故
27、b
28、=1.②由①②得cosθ=.又θ∈[0°,180°],所以θ=60°.故选C.4.设e1,e2,e3为单位向量,且e3=e1+ke2(k>0),若以向量e1,e2为邻边的三角形的面积为,则k的值为( )A.B.C.D.解析:选A.设e1,e2的夹角为θ,则由以向量e1,e2为邻边的三角形的面积为,得×1×1×sinθ=,得sinθ=1,所以θ=90°,所以e1·e2=0.从而对e3=e1+k
29、e2两边同时平方得1=+k2,解得k=或-(舍去).5.已知,是非零向量,且满足(-2)⊥,(-2)⊥,则△ABC的形状为( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:选C.因为(-2)⊥⇒(-2)·=0,即·-2·=0.(-2)⊥⇒(-2)·=0,即·-2·=0,所以·=·=2·,即
30、
31、=
32、
33、,而cosA==,所以∠A=60°,所以△ABC为等边三角形.6.(2016·沈阳一模)在△ABC中,已知
34、+
35、=
36、-
37、,AB=2,AC=1,E,F为边BC的三等分点,则·=( )A.B.C.D.解析:选B.因为
38、+
39、=
40、-
41、,所以2+2+2·=2+2-2·,即有·=0,因
42、为E,F为边BC的三等分点,不妨设E为靠近C的三等分点,则·=(+)·(+)=·=·=2+2+·=×(1+4)+0=,故选B.7.(2016·江西省模拟)已知平面向量a,b的夹角为,
43、a
44、=2,
45、b
46、=1,则
47、a+b
48、=________.解析:由题意得a·b=-1,所以
49、a+b
50、==.答案:8.(2016·江西省九校联考)在△ABC中,=(,),=(1,),则△ABC的面积为________.解析:由于=(,),=(1,),则有
51、
52、=,
53、
54、=,那么cos∠BAC==,可得sin∠BAC==,故△ABC的面积为S=
55、
56、
57、
58、sin∠BAC=1-.答案:1-9.(2016·山西省第一次四校联考)已知
59、圆O为△ABC的外接圆,半径为2,若+=2,且
60、
61、=
62、
63、,则向量在向量方向上的投影为________.解析:因为+=2,所以O是BC的中点,故△ABC为直角三角形.在△AOC中,有
64、
65、=
66、
67、,所以∠B=30°.由定义知,向量在向量方向上的投影为
68、
69、cosB=2×=3.答案:310.(2015·高考安徽卷)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的编号)①a为单位向量;②b为单位向量;③a⊥b;④b∥;⑤(4a+b)⊥.解析:因为2=4
70、a
71、2=4,所以
72、a
73、=1,故①正确;因为=-=(2a+b)-2a=b,又
74、△ABC为等边三角形,所以
75、
76、=
77、b
78、=2,故②错误;因为b=-,所以a·b=·(-)=×2×2×cos60°-×2×2=-1≠0,故③错误;因为=b,故④正确;因为(+)·(-)=2-2=4-4=0,所以(4a+b)⊥,故⑤正确.答案:①④⑤11.已知
79、a
80、=4,
81、b
82、=8,a与b的夹角是120°.(1)计算:①
83、a+b
84、,②
85、4a-2b
86、;(2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)?解:由已知得,a·b=4×8×=-16.(1)①因为
87、a+b
88、2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,所以
89、a+b
90、=4.②因为
91、4a-2b
92、2=16a2-16a·b+4b2=16×16
93、-16×(-16)+4×64=768.所以
94、4a-2b
95、=16.(2)因为(a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0,ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,即16k-16(2k-1)-2×64=0.所以k=-7.即k=-7时,a+2b与ka-b垂直.1.(2015·高考陕西卷)对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是( )A.
96、a·b
97、≤
98、a
99、
100、b
101、 B.
102、a-