高中数学第二章2.1向量的线性运算2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算预习导航学案

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1、2.1向量的线性运算预习导航课程目标学习脉络1．理解单位向量、基向量等基本概念．2．掌握平行向量基本定理．3．熟记轴上向量坐标运算公式，并会简单应用．1．平行向量基本定理如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb．自主思考1条件“b≠0”是否可以去掉，若不能请说明理由？提示：因为如果b＝0，则一定有a与b共线(零向量与任意向量共线)，此时a有两种情况：①a＝0；②a≠0．若a＝0，此时a＝λb中的λ有无数个，若a≠0，此时不存在λ使得a＝λb成立．以上两种情况违背λ的“存在且唯一性”．自主思考2对任意两个向量a，b，若存在不全为0的实数对(λ

2、，μ)，使λa＋μb＝0，则a与b是否共线？提示：共线．证明如下：若a，b中至少有一个为零向量，结论显然成立；若a，b均为非零向量，不妨设μ≠0，则b＝－a，说明a与b共线．但若向量a，b不共线，当λa＋μb＝0时，一定有λ＝μ＝0．自主思考3如何利用平行向量基本共线定理证明三点共线？提示：利用向量的共线条件证明三点共线的一般步骤为：①以三点中任意两个点为端点构造两个有一个共同端点的向量a，b；②证明两个向量满足平行向量基本定理，即存在唯一实数λ，使b＝λa或a＝λb成立；③由两条线段有共同的端点得出结论：三点共线．2．三点共线的一个常用结论向量，，的终点A，B，C共线，则存在实数λ，μ

3、，且λ＋μ＝1，使得＝＋，反之也成立．证明：如图所示，若，，的终点A，B，C共线，则∥，故存在实数m，使得=m．又因为=-，=-，所以-=m(-)，所以=-m+(1+m)．令λ=-m，μ=1+m，则存在λ，μ，且λ+μ=1，使得=λ+μ．反之，若=λ+μ，其中λ+μ=1成立，则μ=1-λ，=λ+(1-λ)．于是有-=λ(-)，即=λ，所以A，B，C三点共线，即向量，，的终点在一条直线上．3．单位向量给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，记作a0，a0＝．4．轴上向量的坐标及坐标运算