高中数学第二章2.1向量的线性运算2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算学案

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1、2.1.5　向量共线的条件与轴上向量坐标运算基础知识基本能力1．掌握平行向量基本定理并理解两个向量共线的条件．(重点、难点)2．理解单位向量的含义．(重点)3．理解轴上的基向量、向量的坐标及运算公式．(重点、易错点)1．能利用平行向量基本定理解决有关的共线或平行问题．(重点、难点)2．能正确地应用轴上向量坐标运算解决相关的几何问题．(重点、易错点)3．会求一个向量的单位向量，熟记公式a0＝.(重点)1．平行向量基本定理如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.在平行向量基本定

2、理中，为什么要规定b≠0?答：若b＝0，则0∥a，但λ0＝0，从而a＝λb中的实数λ具有不确定性，进而不能说存在唯一一个实数λ使得a＝λb.归纳总结对定理的应用要从两个方面进行，由a∥b(b≠0)，可得a＝λb；由a＝λb，可得a∥b.要注意两向量平行与几何里的平行是有区别的，两向量平行包括两向量所在基线重合的情况．利用该定理可以解决平面几何中两线段的平行、三角形相似、三点共线等问题．【自主测试1－1】设a，b是两个非零向量，若8a－kb与－ka＋b共线，则实数k的值为(　　)A．2B．－2C．±2D．8解析：因为8a－k

3、b与－ka＋b共线，故存在唯一的实数λ，使得8a－kb＝λ(－ka＋b)．所以有解得k＝±2.答案：C【自主测试1－2】下列选项中，a与b不一定共线的是(　　)A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1B．a＝4e1－e2，b＝e1－e2C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2解析：对于选项A，b＝－2a；对于选项B，a＝4b；对于选项D，a＝－b.所以选项A，B，D中的a与b一定共线．故选C．答案：C2．单位向量给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向

4、量．如果a的单位向量记作a0，则a＝

5、a

6、a0或a0＝.3．轴上向量的坐标及其运算(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴．已知轴l，取单位向量e，使e的方向与l同方向，根据向量平行的条件，对轴上任意向量a，一定存在唯一实数x，使a＝xe.反过来，任意给定一个实数x，总能作一个向量a＝xe，使它的长度等于这个实数x的绝对值，方向与实数的符号一致．单位向量e叫做轴l的基向量，x叫做a在l上的坐标(或数量)．(2)x的绝对值等于a的长，当a与e同方向时，x是正数，当a与e反方向时，x是负数．实数与轴上的向量建立起一一对应关系．(

7、3)向量相等与两个向量的和：设a＝x1e，b＝x2e，如果a＝b，则x1＝x2；反之，如果x1＝x2，则a＝b.轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和．(4)向量的坐标常用AB表示，即＝ABe.表示向量，而AB表示数量，且有AB＋BA＝0.(5)轴上向量的坐标：在数轴x上，已知点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB＝x2－x1，即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(6)数轴上两点的距离公式：在数轴x上，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则

8、AB

9、＝

10、x2－x1

11、

12、.【自主测试2－1】在数轴上，A，B两点的坐标分别是3,5，则A，B两点的距离为(　　)A．8B．2C．3D．－2答案：B【自主测试2－2】数轴上点A，B，C的坐标分别为－1,1,5，则下列结论错误的是(　　)A．的坐标是2B．＝－3C．的坐标是4D．＝2答案：C关于平行向量基本定理的深入分析剖析：(1)对于向量a(a≠0)，b，如果存在一个实数λ，使b＝λa，那么由向量共线的定义知向量a与b共线；已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即

13、b

14、＝μ

15、a

16、，那么当a与b同方向时，有b＝μa，当a与

17、b反方向时，有b＝－μa.(2)判断向量a(a≠0)与b是否共线的方法：判断是否有且只有一个实数μ，使得b＝μa.(3)判断A，B，C三点共线的方法：判断是否有且只有一个实数μ，使得＝μ.(4)如果向量a与b不共线，且λa＝μb，那么λ＝μ＝0.(5)向量λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b可以用平行四边形法则作出，如下图．题型一轴上向量的坐标运算【例题1】已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－2，c，d.(1)若AC＝5，求c的值；(2)若

18、BD

19、＝6，求d的值；(3)若＝－3，求证：3＝－4.解：(1)∵

20、AC＝5，∴c－(－4)＝5，∴c＝1.(2)∵

21、BD

22、＝6，∴

23、d－(－2)

24、＝6，即d＋2＝6或d＋2＝－6，∴d＝4或d＝－8.(3)证明：∵＝＋＝－＋，而＝－3，∴＝－(－3)＋＝4.∴3＝12.又－4＝－4×(－3)＝12，故3＝－4.反思正确理解和运用轴上向量的坐标及长度计算公式是学习向量计