三角形的边角之间的关系

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1、三角形的边角之间关系　　（1）三角形三内角和等于180°（在球面上，三角形内角之和大于180°）；　　（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；　　（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；　　（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；　　（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.　　（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.　　（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.　　（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等

2、.　　（9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。　　（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。　　（11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。　　（12）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。　　注意:①三角形的内心、重心都在三角形的内部　　.②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。　　③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。）④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。三角形相关定理　　重心定理　　三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中

3、点距离的2倍．　　上述交点叫做三角形的重心.　　外心定理　　三角形的三边的垂直平分线交于一点．　　这点叫做三角形的外心.　　垂心定理　　三角形的三条高交于一点．　　这点叫做三角形的垂心.　　内心定理　　三角形的三内角平分线交于一点．　　这点叫做三角形的内心.　　旁心定理　　三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．　　这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．　　三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．　　它们都是三角形的重要相关点．　　中位线定理　　三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．　　三边关系定理　　三角形任意两边之和大于

4、第三边，任意两边之差小于第三边．　　勾股定理　　在Rt三角形ABC中，A≤90度，则　　AB·AB+AC·AC=BC·BC　　梅涅劳斯定理　　梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。　　证明：　　过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,　　则AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG。　　三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1　

5、　它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。　　塞瓦定理　　设O是△ABC内任意一点，　　AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则BD/DC*CE/EA*AF/FB=1　　证法简介　　（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：　　∵△ADC被直线BOE所截，　　∴CB/BD*DO/OA*AE/EC=1①　　而由△ABD被直线COF所截，∴BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②　　②÷①:即得：BD/DC*CE/EA*AF

6、/FB=1　　（Ⅱ）也可以利用面积关系证明　　∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC③　　同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤　　③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1　　利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:　　设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，　　根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE

7、*ctgC)]*[(BF*ctgC)/　　[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。　　莫利定理　　将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。