数学中的抽象美

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1、数学中的抽象美　　在绘画与教学中，美有客观标准。画家讲究结构、线条、造型、肌理，而教学家则讲究真实、正确、新奇、普遍、……—哈尔莫斯　　数学家因为对发现的纯粹爱好和其对脑力劳动产品的美的欣赏，创造了抽象和理想化的真理。—R．D．Carmicheal　　自然几乎不可能不对数学推理的美抱有偏爱。—C．N．杨　　“数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学”(恩格斯)。　　数学虽不研究事物的质，但任一事物必有量和形，这样两种事物如有相同的量和形，便可用相同的数学方法，因而数学必然也必须抽象。　　我们生活在受精确的数学定律制约的宇宙之中，而数学正是书写宇宙的文字(伽利略语)。　　

2、物理、化学、工程乃至许多科学技术领域中的基本原理，都是用数学语言表达的。万有引力的思想，历史上早就有之，但只有当牛顿用精确的数学公式表达时，才成为科学中最重要、最著名的万有引力定律。爱因斯坦的广义相对论的产生与表达，也得益于黎曼几何所提供的数学框架和手段。　　在数学的创造性工作中，抽象分析是一种常用的重要方法，这是基于数学本身的特点——抽象性的。数学中不少新的概念、新的学科、新的分支的产生，是通过“抽象分析”得到的。　　当数学家的思想变得更抽象时，他会发现越来越难于用物理世界检验他的直觉。为了证实直觉，就必须更详细地进行证明，更细心地下定义，以及为达到更高水平的精确性而

3、进行的持续努力，这样做也使数学本身得以发展了。　　数学的简洁性在很大的程度上是源自数学的抽象性，换句话说：数学概念正是从众多事物共同属性中抽象出来的。而对日益扩展的数学知识总体进行简化、廓清和统一化时，抽象更是必不可少的。　　如前所述，微积分的创始人牛顿和莱布尼兹分别从力学(研究物体的速度、加速度)和几何学(讨论曲线的切线)不同角度引入建立同一概念、创立同一学科——微分学；而他们又分别从“反运算”和“微分求和”不同角度建立另一门学科——积分学。这也使微分、积分(微积分)成为一个不可分离的整体学科。　　同一个拉普拉斯(Laplace)方程　　　　它既可用来表示稳定的热传导

4、过程平衡态、溶质动态平衡、弹性薄膜的平衡，也可表示静态电磁场的位势、真空中的引力势、不可压流体的定常运动等等。　　这个方程由于抽象性而成为普适(当然，方程自身的形式也是很美的，除了符号美外，它还具形式美：对称、整齐)，这显然也是数学本身的一大特点。　　抽象是数学的美感中的一个重要部分，还因为数学的抽象可以把人们置于脱开周围事物纷扰的“纯洁”的气氛中，尽管这种气氛有时距离具体经验太遥远。　　波兰数学大师H．史坦因豪斯在其名著《数学一瞥》中，有这样一句挑战性的话：　　七十八位数2257-　　1=2315841784746323908471419700173758157065

5、39969331281128078915168015826259279871是合数，可以证明它有因子，尽管这些因子还不知道。　　大师是运用了“抽屉原理”得出这个“非构造性”的结论(证明某些东西存在，尽管还没找到它)，数学家正是依据数学抽象的特点，巧运新思才得出这个“未卜先知”的断言(这些因子在八十年代人们利用了电子计算机的帮助而找到了)。这也是数学用抽象推理去判断以别于其他学科的标志之一。　　“抽象”系指不能具体体验到的，这儿我们所谈的抽象有两种含义：　　(1)我们不容易想象(或意想不到)的；　　(2)我们无法体验到(或与现实较脱节)的。　　对于前者，这也是用数学去“证

6、明”某些难以理解的事实的最好工具；对于后者，说明数学本身具有的特征与魅力。我们先来谈谈前者。　　下图中有一个大的半圆，在其直径上又并列着三个小半圆，请问大的半圆周长与三个小半圆周长之和谁大？　　乍看上去，似难判断，具体一推算便十分清楚了：　　设大圆直径为d，三个小半圆直径分别为d1、d2、d3。　　因d1+d2+d3=d，有π(d1+d2+d3)=πd，　　即πd1+πd2+πd3=πd，　　此即说大半圆周长为三个小半圆周长之和。　　再如有一条很长很长的绳子，恰好可绕地球赤道一周。如果把绳子再接长15米后，绕着赤道一周悬在空中(如果能做到的话)，你能想象得出吗：在赤道的

7、任何地方，一个身高2米39以下的人，都可从绳子下自由穿过！　　它的道理只须稍加计算便可明晓。　　设地球半径为R，则绳子原长为2πR。当绳子长为2πR+15时，绳子所围圆周的半径是：(2π+15)÷2π=R+15／(2π)=R+2.39(m)。　　那么绳子可围成一个与地球相距(即绳子围成的圆圈半径与地球半径之差)2.39米的大圆圈。　　这个事实单凭经验去想象，无论如何是想不通的：地球半径那么大，而绳子仅仅接长15米，绳子居然处处离地球2米以上。然而严谨的数学计算告诉我们：这是千真万确的(可谁又能亲手去试验一下？)。　　话还得讲回来，正因为数