2017_18学年高中数学第三章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表教学案

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1、3．2.1　常数与幂函数的导数3．2.2　导数公式表[学习目标]　1.理解各个公式的证明过程，进一步理解运用定义求导数的方法.2.掌握常见函数的导数公式.3.灵活运用公式求某些函数的导数．[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？答：(1)计算，并化简；(2)观察当Δx趋近于0时，趋近于哪个定值；(3)趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．[预习导引]1．常数与幂函数的导数原函数导函数f(x)＝Cf′(x)＝0f(x)

2、＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝f′(x)＝－2．基本初等函数的导数公式表原函数导函数y＝Cy′＝0y＝xny′＝nxn－1(n为自然数)y＝xμ(x>0，μ≠0)y′＝μxμ－1(μ为有理数)y＝sinxy′＝cos_x5y＝cosxy′＝－sin_xy＝ax(a>0，且a≠1)y′＝axln_ay＝exy′＝exy＝logax(a>0，且a≠1，x>0)y′＝y＝lnx(x>0)y′＝要点一　利用导数定义求函数的导数例1　用导数的定义求函数f(x)＝2014x2的导数．解　f′(x)＝＝＝＝(4028x＋2014Δx)＝4028x.规律方法　解答此类

3、问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤．(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N＋)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用．跟踪演练1　用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．解　y′＝＝＝＝(2x＋a＋Δx)＝2x＋a.要点二　利用导数公式求函数的导数例2　求下列函数的导数：(1)y＝sin；(2)y＝5x；(3)y＝；(4)y＝；(5)y＝log3x.解　(1)y′＝0；(2)y′＝(5x)′＝5xln5；5(3)y′＝(x－3)′＝－3x－4；(4)y′＝()′＝(x)

4、′＝x－＝；(5)y′＝(log3x)′＝.规律方法　求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据要解决问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．跟踪演练2　求下列函数的导数：(1)y＝x8；(2)y＝()x；(3)y＝x；(4)y＝logx.解　(1)y′＝8x7；(2)y′＝()xln＝－()xln2；(3)∵y＝x＝x，∴y′＝x；(4)y′＝＝－.要点三　利用导数公式求曲线的切线方程例3　求过曲线y＝sinx上点P且与过这点的切线垂直的直线方程．解　∵y＝sinx，

5、∴y′＝cosx，曲线在点P处的切线斜率是：y′

6、x＝＝cos＝.∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－，故所求的直线方程为y－＝－(x－)，即2x＋y－－＝0.规律方法　导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线(斜率均存在)斜率乘积等于－1是解题的关键．跟踪演练3　已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解　∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′

7、x＝x0＝2x0，又∵PQ的斜率为k＝＝1，5而切线平行于PQ，∴k＝2x0＝1，即x0＝，所以切点为M.∴所求的切线方程为y－＝x－，即

8、4x－4y－1＝0.1．已知f(x)＝x2，则f′(3)等于(　　)A．0B．2xC．6D．9答案　C解析　∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.2．函数f(x)＝，则f′(3)等于(　　)A.B．0C.D.答案　A解析　∵f′(x)＝()′＝，∴f′(3)＝＝.3．f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于(　　)A.B.C.D.答案　D解析　f′(x)＝3ax2＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4，a＝.4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．答案　e2解析　∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，

9、∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.∴S△＝×1×

10、－e2

11、＝e2.1.利用基本初等函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，要认真观察函数的结构特征，积极地进行联想与化归．52．有些函数可先化简再求导．如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的