2020版高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表学案（含解析）新人教B版选修1 -1

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1、3．2.2　导数公式表学习目标　1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．知识点一　常数与幂函数的导数原函数导函数f(x)＝Cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝f′(x)＝－知识点二　基本初等函数的导数公式表原函数导函数f(x)＝Cf′(x)＝0f(x)＝xnf′(x)＝nxn－1(n为自然数)f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0，a≠1)

2、f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，a≠1，x>0)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝题型一　利用导数公式求函数的导数例1　求下列函数的导数．(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝2sincos；(5)y＝；(6)y＝3x.解　(1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.(3)y′＝()′＝＝＝＝.(4)∵y＝2sincos＝sinx，∴y′＝cosx.(5)y′＝()′＝＝－.(6)y

3、′＝(3x)′＝3xln3.反思感悟　若题目中所给出的函数解析式不适用导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导．跟踪训练1　求下列函数的导数．(1)y＝lgx；(2)y＝x；(3)y＝(1－)＋；(4)y＝2cos2－1.考点　基本初等函数的导数公式题点　利用导数公式求函数的导数解　(1)y′＝(lgx)′＝(log10x)′＝.(2)y′＝′＝xln＝－xln2.(3)∵y＝(1－)＋＝＋＝＝∴y′＝－(4)∵y＝2cos2－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.题

4、型二　导数公式的综合应用命题角度1　利用导数公式解决切线问题例2　已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由．解　因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线．设切点坐标为(x0，y0)，由直线PQ的斜率为k＝＝1，又切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－，所以切点坐标为.所以所求切线方程为y－＝(－1)，即4x＋4y＋1＝0.引申探究若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解　因为y′＝(x2)′＝2

5、x，设切点为M(x0，y0)，则＝2x0.又因为PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝.所以切点为M，所以所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.反思感悟　解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率．(2)切点在切线上．(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．跟踪训练2　已知两条曲线y＝sinx，y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解　设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，则在

6、点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝＝cosx0，k2＝＝－sinx0.要使两切线垂直，必须有k1k2＝cosx0(－sinx0)＝－1，即sin2x0＝2，这是不可能的．所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直．命题角度2　利用导数公式解决最值问题例3　求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．解　依题意知，抛物线y＝x2与直线x－y－2＝0平行的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)．∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，∴切点坐标为，∴所

7、求的最短距离为d＝＝.反思感悟　利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3　已知直线l:2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．解　设M(x0，y0)为切点，过点M与直线l平行的直线斜率为k＝y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1

8、，y0＝1，故可得M(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0.由于直线l:2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，∴

9、AB

10、为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，故点M(1,1)即为所求弧上的点，使△ABP的面积最大．导数公式的应用典例　设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′