2019_2020学年高中数学第2章柯西不等式与排序不等式及其应用2.2排序不等式讲义新人教B版

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1、2.2　排序不等式学习目标：1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．教材整理1　顺序和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的顺序和；称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的反序和；称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的乱序和．教材整理2　定理(排序原理，又称为排序不等式)设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实

2、数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn，可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则M与N的大小关系是(　　)A．M>N　　　　　B．M≥NC．M

3、＋.[精彩点拨]　由于题目条件中已明确a≥b≥c，故可以直接构造两个数组．[自主解答]　(1)∵a≥b>0，于是≤，又c>0，∴>0，从而≥.同理，∵b≥c>0，于是≤，∴a>0，∴>0，于是得≥，从而≥≥.(2)由(1)知≥≥>0且a≥b≥c>0，∴≥≥，a2≥b2≥c2.由排序不等式，顺序和≥乱序和得＋＋≥＋＋＝＋＋＝＋＋，故＋＋≥＋＋.利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0

4、1≤a2≤…≤an，∴a≤a≤…≤a，≥≥…≥，由排序不等式知，乱序和不小于反序和，得＋＋…＋＋≥a·＋a·＋…＋a·.因此＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an.字母大小顺序不定的不等式证明【例2】　设a，b，c为正数，求证：＋＋≤＋＋.[精彩点拨]　(1)题目涉及到与排序有关的不等式；(2)题目中没有给出a，b，c的大小顺序．解答本题时不妨先设定a≤b≤c，再利用排序不等式加以证明．[自主解答]　不妨设0

5、3·＋c3·.将上面两式相加得＋＋≤2，将不等式两边除以2，得＋＋≤＋＋.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体情境分类讨论．2．本例的条件不变，试证明：＋＋≥a＋b＋c.[证明]　不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2≥c2，≥≥，则a2·＋b2·＋c2·(乱序和)≥a2·＋b2·＋c2·(反序和)，同理，b2·＋c2·＋a2·(乱序和)≥a2·＋b2·＋c2·(反序和)．两式相加再除以2

6、，可得a＋b＋c≤＋＋.利用排序不等式求最值【例3】　设a，b，c为任意正数，求＋＋的最小值．[精彩点拨]　由对称性，不妨设a≥b≥c>0，注意到＋＝1，设法构造数组，利用排序不等式求解．[自主解答]　不妨设a≥b≥c，则a＋b≥a＋c≥b＋c，≥≥，由排序不等式得，＋＋≥＋＋，＋＋≥＋＋，上两式相加，则2≥3，即＋＋≥.当且仅当a＝b＝c时，＋＋取最小值.1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组．2．运用排序原理求最值时，一定验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值．3．已知x，y，z是正数，且x＋y＋z＝1，求t＝＋＋的最小值．[解]　不妨设x

7、≥y≥z>0，则x2≥y2≥z2，≥≥.由排序不等式，乱序和≥反序和．＋＋≥x2·＋y2·＋z2·＝x＋y＋z.又x＋y＋z＝1，＋＋≥1，当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立．故t＝＋＋的最小值为1.排序不等式的特点[探究问题]1．排序不等式的本质含义是什么？[提示]　排序不等式的本质含义是两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大；反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小．注意等号成立的条件是其中一个序列为常数序列．2．排序原理的思想是什么？[提示]　在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么

8、在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列