2019_2020学年高中数学第2章平面解析几何初步2.2.1圆的方程（第1课时）圆的标准方程讲义苏教版必修2

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1、第1课时　圆的标准方程学习目标核心素养1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点、难点)2.会根据已知条件求圆的标准方程．(重点)3.能准确判断点与圆的位置关系．(易错点)通过学习本节内容来提升学生的数学运算和直观想象核心素养.1．圆的定义及标准方程(1)圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径．(2)圆的标准方程圆特殊情况一般情况圆心(0，0)(a，b)半径r(r>0)r(r>0)标准方程x2＋y2＝r2(x－a)2＋(y－b)2＝r2备注确定

2、圆的标准方程的关键是确定圆心和半径2.点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系d＞rd＝rd＜r1.思考辨析(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(　　)(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(　　)(3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1，2)，半径是4.(　　)(4)点(0，0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．圆(x－2

3、)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是________．[答案]　(2，－3)，3．若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝__________．2或－2　[把点P(－1，)代入x2＋y2＝m2，得1＋3＝m2，∴m＝2或－2.]求圆的标准方程【例1】　求下列各圆的标准方程．(1)圆心为点C(8，－3)，且经过点P(5，1)；(2)以P1(1，2)，P2(－3，4)为直径的端点；(3)与x轴相交于A(1，0)，B(5，0)两点且半径为.思路探究：(1)(2)直接求出圆心半径代入求解；(3)设出圆的

4、标准方程，由已知条件列方程组求解．[解]　(1)由题意可知，圆的半径r＝PC＝＝5，所以圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.(2)由题意可知，P1，P2的中点P的坐标为(－1，3)．又P1P2＝＝2，所以圆的半径为P1P2＝.即所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝5.(3)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝5.因为点A，B在圆上，所以可得到方程组：解得或所以圆的标准方程是(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.法二：由于A，B两点在圆上，所以线段A

5、B是圆的一条弦，根据平面几何知识，知这个圆的圆心在线段AB的垂直平分线x＝3上，于是可以设圆心为C(3，b)，又由AC＝，得＝，解得b＝1或b＝－1，所以圆的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.求圆的标准方程的常用方法(1)待定系数法(代数法)：设出圆的标准方程，方程中有三个未知数a，b，r，根据题目条件列出a，b，r的方程组求解，代数法体现了方程思想．(2)几何法：即利用圆的几何性质直接求出圆心和半径的方法，几何法体现了数形结合的思想．1．已知圆心为C的圆经过点A(0，

6、2)和B(－3，3)，且圆心C在直线l：x＋y＋5＝0上．求圆C的标准方程．[解]　法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则解得∴圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.法二：因为A(0，2)，B(－3，3)，所以线段AB的中点坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－，故线段AB的垂直平分线方程是y－＝3，即3x－y＋7＝0.由得所以圆心C的坐标为(－3，－2)．∴圆的半径r＝AC＝＝5，所以圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.圆的方程的实际应用【例2】　如图所示是一座圆拱桥，当

7、水面距拱顶2m时，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽多少m？(结果保留两位小数)思路探究：由条件，此问题应首先建立坐标系，转化为求圆的方程，再利用条件求水面宽度．[解]　以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴建立直角坐标系如图所示，设圆拱所在圆的圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．设圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2，将A(6，－2)代入方程，得r＝10，∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，当水面下降1m后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)．如图所示，将A′(x0，－3)代

8、入圆的方程，求得x0＝，∴水面下降1m，水面宽为2x0＝2≈14.28(m)．本题考查应用坐标法研究与平面图形有关的实际问题，因此，要建立适当的坐标系，利用圆的方程来解决．一般思路是根据题设条件建立适当的直角坐标系，把实际问题转化为数学问题，通过待定系数法设圆的方程进行求解．2．已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为3m，高为3.5m的货车能不能驶入这个隧道？[解]