2019_2020学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充学案苏教版

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1、3.1　数系的扩充学习目标核心素养1.理解复数的基本概念、复数的代数表示．(重点)2．利用复数的代数形式进行分类和复数相等的充要条件的应用．(重点、难点)3．实部、虚部的概念．(易混点)通过对复数的学习，培养数学抽象素养.1．复数的相关概念(1)虚数单位我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：①i2＝－1；②实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．(2)复数、复数集①形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.②复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部．2．复数

2、的分类与复数相等(1)复数的分类复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，z是实数；当b≠0时，z叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫做纯虚数．(2)复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？[提示]1．复数i－2的虚部是(　　)A．i　　　　B．－2C．1D．2C　[i－2＝－2＋i，因此虚部是1.]2．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为(　　)A．x＝1，y＝－1B．x＝0，y＝－1C．x＝1，y＝0D．x＝0，y＝0A　[∵(x＋

3、y)i＝x－1，∴∴x＝1，y＝－1.]3．①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；③两个虚数不能比较大小．其中正确命题的序号是__________．(填序号)③　[当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错．]4．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝________.2＋i　[由i2＝－1得xi－i2＝1＋xi，即1＋xi＝y＋2i，根据两个复数相等的充要条件得故x＋yi＝2＋i.]复

4、数的相关概念【例1】　(1)复数z＝4－3i的实部和虚部分别是________和________．(2)复数z＝(m2－3m＋2)＋(m2＋m－2)i，当实数m为何值时，①z为实数；②z为虚数；③z为纯虚数．(3)当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为：①实数；②虚数；③纯虚数．(1)4　－3　[由复数的代数形式及实、虚部的概念知，复数z的实部和虚部分别为4和－3.](2)[解]　①当m2＋m－2＝0，即m＝－2或m＝1时，z为实数．②当m2＋m－2≠0，即m≠－2且m≠1时，z为虚数．③当即m＝2时，z为纯虚数．(3)[解]　①即m＝2，∴当m＝2时

5、，复数z是实数．②当m2－2m≠0，且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．③由解得m＝－3，∴当m＝－3时，复数z是纯虚数．判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．(2)化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．1．下列命题中是假命题的是________．(填序号)①自然数集是非负整数集②实数集与复数集的交集为实数集③实数集与虚数集的交集是{0}④纯虚

6、数集与实数集的交集为空集③　[复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，③是假命题．]复数的分类及应用【例2】　(1)复数z＝a2－b2＋(a＋

7、a

8、)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是________．(2)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，①z为实数；②z为虚数；③z为纯虚数．(1)a>0且a＝±b　[要使复数z为纯虚数，则∴a>0，a＝±b.](2)[解]　①要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.②要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即

9、m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.③要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.2．若把上例(1)中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？[解]　复数z为实数的充要条件是a＋

10、a

11、＝0，即

12、a

13、＝－a，所以a≤0.复数相等的充要条件[探究问题]1．由3>2能否推出3＋i>2＋i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？提示：由3>2不能推出3＋i>2＋i，当两

14、个复数都是实数时，可以比较大小，当两个