资源描述：
《2019_2020学年高中数学第2章空间向量与立体几何6距离的计算学案北师大版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§6 距离的计算学习目标：1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(难点) 掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．(重点) 通过转化，会利用空间向量解决距离问题，从而培养准确的运算能力．(难点)1．利用向量求点A到直线l的距离步骤：(1)找到直线l的方向向量s，并求s0＝；(2)在直线l上任取一点P；(3)计算点P到点A的距离
2、
3、；(4)计算在向量s上的投影·s0；(5)计算点A到直线l的距离d＝.2．利用向量求点A到平面π的距离步骤：(1)找到平面π的法向量n；(2)在平面π内任取一
4、点P；(3)计算在向量n上的投影·n0；(4)计算点A到平面π的距离d＝
5、·n0
6、.思考：如图，P是平面α外一点，PO⊥α于O，PA，PB是α的两条斜线段.与在上的投影大小相等吗？如果相等都等于什么？[提示] 相等，都等于
7、
8、，即P到平面α的距离．1.判断正误(1)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B所成向量的长度．( )(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．( )(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距
9、离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2．已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为n＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为( )A. B.C.D.A [＝(－2，0，－1)，
10、
11、＝，·＝，则点P到直线l的距离d＝＝＝.]3．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为( )A．10B．3C.D.D [∵A(－1，3，0)，P(－2，1，4)，∴＝(－1，－2，4)
12、，∵n＝(－2，－2，1)，∴n0＝＝，∴d＝
13、·n0
14、＝＝.]4．已知直线AB∥平面α，平面α的法向量n＝(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，直线AB上点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为________． [＝(1，2，0)，直线AB到平面α的距离d＝
15、·n0
16、＝.]点到直线的距离【例1】 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝3，BC＝4，AA1＝5，求点A1到下列直线的距离：(1)直线AC；(2)直线BD.[解] (1)在长方体ABCD－
17、A1B1C1D1中，显然AA1⊥AC，所以AA1＝5即为所求点A1到直线AC的距离．(2)如图建立空间直角坐标系，则有B(4，3，0)，A1(4，0，5)．＝(4，3，0)，＝(4，0，5)，＝，设点A1到直线BD的距离为d.所以d＝＝＝.1．本题(1)利用基本定义直接求解距离．2．点到直线的距离的算法框图空间一点A到直线l的距离的算法框图，如图．1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )A. B.C.D.B [如图所示，＝(2
18、，0，0)，＝(1，0，2)，＝.A到直线BE的距离d＝＝＝.]点到平面的距离【例2】 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1＝，底面△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，求点B1到平面A1BC的距离．[解] 如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，A1(1，0，)，B1(0，1，)，C1(0，0，)．∴＝(－1，1，－)＝(－1，0，－)，＝(1，－1，0)．设平面A1BC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则⇒⇒即n
19、＝(－，0，1)，所以，点B1到平面A1BC的距离d＝
20、·
21、＝.空间一点A到平面π的距离的算法框图，如图所示．2．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系.由题意可知G(0，0，2)，E(4，－2，0)，F(2，－4，0)，B(4，0，0)，∴＝(4，－2，－2)，＝(2，－4，－2)，＝(0，－2，0)．设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)．由得∴令y
22、＝1，则n＝(－1，1，－3)，故点B到平面EFG的距离为d＝
23、·
24、＝＝.求线面距与面面距[探究问题]1．线面距、面面距可转化为点到平面的距离吗？为什么？[提示] 可以．直线与平面平行时，直线上的点到平面的距离均相等；平面与平面平行时，一个平面上的点到另一个平面的距离均相等，故可将线面距、面面距等转化为点面距．2．你能给出用向量法求面面距的基本思路吗？[提示] 求两平行平面之间的距离，通常也是转化为点面距求解，其基本思路是：设点A为平面α内任意一点，B为平面β内的任意一点，n为平面
