立体几何 空间几何体的表面积与体积

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1、第2讲　空间几何体的表面积与体积考点考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大．【复习指导】本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单的问题．基础梳理1．柱、锥、台和球的侧面积和体积面　积体　积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝Sh＝πr2h＝πr2圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h直棱柱S侧＝ChV＝Sh正棱锥S侧＝Ch′V＝Sh正棱台S侧＝(C＋C′)h′V＝(S上＋S下＋)h球S球面

2、＝4πR2V＝πR32.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．两种方法　(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条

3、侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．双基自测1．(人教A版教材习题改编)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是(　　)．A．4πSB．2πSC．πSD.πS解析　设圆柱底面圆的半径为r，高为h，则r＝，又h＝2πr＝2，∴S圆柱侧＝(2)2＝4πS.

4、答案　A2．(2012·东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)．A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2解析　由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，则长方体的体对角线长为＝a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线，∴2R＝a.∴S球＝4πR2＝6πa2.答案　B3．(2011·北京)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是(　　)．A．8B．6C．10D．8解析　由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,6，8,10，所以面积最大的是10，故

5、选择C.答案　C4．(2011·湖南)设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)．A.π＋12B.π＋18C．9π＋42D．36π＋18解析　该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为2×32＋π3＝π＋18.答案　B5．若一个球的体积为4π，则它的表面积为________．解析　V＝R3＝4π，∴R＝，S＝4πR2＝4π·3＝12π.答案　12π　　考向一　几何体的表面积【例1】►(2011·安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)．　A．48B．32＋8

6、C．48＋8D．80[审题视点]由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积．解析　换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为4，故腰长为，所以该几何体的表面积为48＋8.答案　C以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．【训练1】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于(　　)．A.B．2C．2D．6解析　由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱，则此三棱

7、柱的侧面积为2×1×3＝6.答案　D考向二　几何体的体积【例2】►(2011·广东)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为(　　)．A．18B．12C．9D．6[审题视点]根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解．解析　该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为，故V＝3×3×＝9.答案　C以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求

8、解．【训练2】(2012·东莞模拟)某