2019_2020学年高中数学第2章数列2.3.1等比数列（第1课时）等比数列学案新人教B版必修5

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1、第1课时　等比数列学习目标核心素养1.理解等比数列的定义．(重点)2.掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点)3.熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点)1.通过等比数列概念的学习，体现了学生的数学抽象的素养．2.借助等比数列的通项公式及其应用的学习，培养学生的数学运算的素养.1．等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．(2)符号语言：＝q(q为常数，q≠0，n∈N＋)．思考：等比数列还可以用哪种符号语言表示

2、？[提示]　＝q(q为常数，q≠0，n≥2，n∈N＋)．2．等比中项(1)前提：三个数x，G，y成等比数列．(2)结论：G叫做x，y的等比中项．(3)满足的关系式：G2＝xy.思考：任意两数都有等比中项吗？[提示]　不是，只有同号的两数才有．3．等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1qn－1.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．4．等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列·qn中的各项

3、的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点．1．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a满足(　　)A．a≠1　　B．a≠0或a≠1C．a≠0D．a≠0且a≠1D　[由于a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则a需满足a≠0，a(1－a)≠0，a(1－a)2≠0，所以a≠0且a≠1.]2．已知{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为(　　)A．an＝2·3n＋1B．an＝3·2n＋1C．an＝2·3n－1D．an＝3·2n－1C　[由已知可得a1＝2，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn

4、－1＝2·3n－1.]3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝________.　[∵a2＝a1q＝2，①a5＝a1q4＝，②∴②÷①得：q3＝，∴q＝.]等比数列的判断【例1】　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋)．(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．[解]　(1)由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，∴a1＝－.又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得＝－.又a1＝－，所以{an

5、}是首项为－，公比为－的等比数列．判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：(1)定义法：＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列．(2)等比中项法：a＝anan＋2(n∈N＋且an≠0)⇔{an}为等比数列．(3)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列．(4)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可．1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证{an}是等比数列，并求出通项公式．[证明]　∵Sn＝2an＋1，∴S

6、n＋1＝2an＋1＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an，∴an＋1＝2an，又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.又由an＋1＝2an知an≠0，∴＝2，∴{an}是等比数列．∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.等比中项的应用【例2】　在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则等于多少？[解]　由题意知a3是a1和a9的等比中项，∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d，∴＝＝.由等比中项的定义可知：＝⇒G2＝ab⇒G＝±.这表明只有同号的两

7、项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G2＝ab，则＝，即a，G，b成等比数列．所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0)．2．已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．[解]　设该等比数列的公比为q，首项为a1，∵∴∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)．上述两式相除，得q(1－q)＝⇒q＝.∴a1＝＝＝96.若G是a5，a7的等比中项，则应有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962·10＝9.∴a5，a7的等比中项是±3.等比数列的通项公式[探究问题]1．类比归纳等

8、差数列通项公式的方法，你能归纳出首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式吗？[提示]　由等比数列的定