2019_2020学年高中数学第2章解三角形2三角形中的几何计算教案北师大版必修5

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1、§2三角形中的几何计算学习目标核心素养1.进一步理解正、余弦定理中所蕴含的边角之间的关系．(易混点)1.通过三角形中的2．掌握通过正、余弦定理进行边角转化的方法，以及解决有关几何计算培养数学三角形中的几何度量问题．(重点)运算素养．3．深刻体会数形结合思想、方程思想以及转化与化归思想在三2．通过三角形中的角形度量问题中的应用．(难点)几何计算培养逻辑4．了解正弦定理与余弦定理在三角形中的重要作用，培养学生推理素养.灵活运用知识的能力.三角形中的几何计算阅读教材P54～P55“练习”以上部分完成下列问题．(1)三角形中的几何计算主要涉及

2、长度、角度、面积问题．(2)在△ABC中，有以下常用结论：①a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b；②a＞b⇔A＞B⇔sin_A＞sin_B；A＋BπC③A＋B＋C＝π，＝－；222A＋BCA＋BC④sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，sin＝cos，cos＝sin.2222思考：(1)若角A是三角形ABC中最大的角，则角A的范围是什么？π[提示]≤A＜π.3π(2)在△ABC中，若A＝，则角B的取值范围是什么？32π[提示]0＜B＜.31．在△ABC中，a＝2，A＝30°，则△ABC外接圆的半径为()A．4B．

3、2C．23D．3a2B[由正弦定理得2R＝＝＝4，故R＝2.]sinA122．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于()21A．12B．2C．28D．6311D[由余弦定理可得cosA＝，A＝60°，所以S△ABC＝bcsinA＝63.]2233．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝3，则()2A．A＝30°B．A＝60°C．A＝30°或150°D．A＝60°或120°13D[由S△ABC＝bcsinA＝，2233得3sinA＝，sinA＝，22由0°

4、BC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a＋4S＝b＋c，则角A为________．2222221145°[因为a＝b＋c－2bccosA，又已知a＋4S＝b＋c，故S＝bccosA＝bcsinA，22从而sinA＝cosA，tanA＝1，A＝45°.]计算线段的长度和角度【例1】在△ABC中，已知B＝30°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6.(1)求∠ADC的大小；(2)求AB的长．[解](1)在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得222AD＋DC－AC100＋36－1961cos∠ADC＝

5、＝＝－，2AD·DC2×10×62∴∠ADC＝120°.(2)由(1)知∠ADB＝60°，在△ABD中，AD＝10，B＝30°，∠ADB＝60°，ABAD由正弦定理得＝，sin∠ADBsinB310×AD·sin∠ADB10·sin60°2∴AB＝＝＝＝103.sinBsin30°12求线段的长度与角度的方法(1)求线段的长度往往归结为求三角形的边长，解决此类问题要恰当地选择或构造三角形，利用正、余弦定理求解；(2)求角度时，把所求的角看作某个三角形的内角，利用正、余弦定理求解，或利用A＋B＋C＝π求解．1．如图所示，在四边形ABCD

6、中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．222[解]在△ABD中，由余弦定理，得AB＝AD＋BD－2AD·BD·cos∠ADB，222设BD＝x，则有14＝10＋x－2×10xcos60°，2∴x－10x－96＝0，BCBD∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16.在△BCD中，由正弦定理知＝，sin∠CDBsin∠BCD16∴BC＝·sin30°＝82.sin135°三角形中与面积有关的问题【例2】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a

7、＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．2π[解](1)由已知可得tanA＝－3，所以A＝.322π在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c－4ccos，32即c＋2c－24＝0.解得c＝－6(舍去)，c＝4.ππ(2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.26故△ABD面积与△ACD面积的比值为1πAB·AD·sin26＝1.1AC·AD21又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝23，2所以△ABD的面积为3.三角形面积公式的应用(1)三角形面积公式的选取取决于三角

8、形中哪个角已知或可求，或三角形中哪个角的正弦值可求．111(2)在解决三角形问题时，面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA最常用，因为公222式中既有角又有边，容易和正弦定理、余弦定理联系起来应用．222．