微分方程模型1

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1、2021/8/17微分方程模型DifferentialEquationmodel主讲人窦霁虹2021/8/17微分方程模型：联系某些变量及其变化率或导数的关系式。西北大学数学系求解微分方程有三种方法：1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系。2021/8/17建立微分方程模型的方法（1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等找出变量及其导数之间的关系，来建立微分方程模型。（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对

2、微元而不是直接对函数及其导数应用规律。西北大学数学系2021/8/17（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。西北大学数学系2021/8/17人口增长问题-----精确解人口模型的应用-------参数估计赛题分析-------2004年C题2021/8/17人口增长问题2021/8/17游泳馆的人们报考美院的学

3、生教室里的学生股市的股民2021/8/17问题的提出人口、工业化的资金、粮食、不可再生资源、环境污染是人类在地球上生存所面临的五大问题，而人口问题是这五大问题之首。人口在不断的增长，其增长有无规律可循？目标：预测人口发展趋势；控制人口增长。建模准备资料报告，公元前世界人口已接近3亿（粗略估计）。近一千年人口统计比较精细。看下图。2021/8/17180010人口（亿）年193020196030197440198750199960200893来源：新华社2003年2月28日2010年全世界人口总数为68亿672050“世界人口日”（资料图片）

4、中广网北京7月11日消息据中国之声《新闻纵横》报道，今天（11日）是“世界人口日”，今年（2011年）10月份全球人口将会达到70亿，联合国人口基金将今年的“世界人口日”的主题确定为“70亿人的世界”，借此引发人们对70亿人口带来的机遇与挑战的关注和思考。如何既满足上百亿人口的需要，又同时维护生命赖以生存的自然环境的平衡，这是本世纪人类面临的巨大挑战。2021/8/17我国人满为患的情况更令人担忧。据资料记载：17602人口（亿）年19004195361974计划生育9.2199011.6200513198911199512180010人口

5、（亿）年193020196030197440198750199960200893672050200813.28图文：中国人口总数逾13.7亿2011-04-2905:52:00来源:荆楚网-湖北日报(武汉)联合国从1988年起，把7月11日定为世界人口日。预计2020年中国人口总数将达到14.5亿。2021/8/17三建立模型1简单模型要预报未来若干年的人口数，两个重要因素：当前的人口数，今后这些年的增长率（出生率-死亡率）一年后，人数增加到k年后，人口数为若想知道任何时刻的人口数，怎么办？对时间连续化！两年后，2021/8/172Malt

6、hus模型马尔萨斯(Malthus1766--1834)是英国的人口学家。他根据百余年的人口统计资料，于1798年提出著名的人口指数增长模型。基本假设：人口净相对增长率为常数。净相对增长率是单位时间内的人口的增长量占当时的人口总数的比例。设净相对增长率为，时刻人口总数为。经时间后人口总数为《人口原理》2021/8/17Malthus模型求解2021/8/17otNN0分析数据表明，在1700—1961年期间，世界人口吻合较好。在此期间，人口约35年增长一倍。按模型计算，取问题：利用此模型能预测未来吗？2021/8/171）1960年世界人口

7、总数为30亿，按Malthus模型计算，到2692年人口总数将增至地表面积为平方英尺，其中只有28%的陆地表明给每人1平方英尺（约为9.3平方分米）的站立面积，那么，能容纳总人口必须把人堆放3层以上。2）资源能否提供保证如此多人口的需要？以上两点说明，Malthus模型只适用于人口相对少时的情形，当人口增多时与实际不吻合。其原因，随着人口的增加，自然资源、环境等因素对人口的继续增长的阻滞作用愈来愈明显。2021/8/17如果当人口较少时（相对资源而言）人口相对增长率可以视为常数，那么当人口增加到一定数量后，增长率就会随人口的继续增加而减少。

8、为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改Malthus模型中的人口相对增长率为常数的假设。2021/8/173Logistic模型（阻滞增长模型）假设人口相对增长