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《高考数学第八章立体几何第六节空间向量的应用（空间角的求法）教案理苏教版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六节空间向量的应用(空间角的求法)1．异面直线所成角设异面直线a，b所成的角为θ，则cosθ＝，其中a，b分别是直线a，b的方向向量．2．直线与平面所成角如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sinφ＝
2、cos〈a，n〉
3、＝.3．二面角若AB，CD分别是二面角αlβ的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图(1)．若平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2
4、〉＝θ，则二面角αlβ为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则
5、cosφ
6、＝
7、cosθ
8、＝，如图(2)(3)．[小题体验]1．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC夹角的余弦值为________．解析：以点C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(1,0,2)．于是得＝(－1,1，－2)，＝(－1,0,0)，所以cos〈，〉＝＝＝，所以
9、异面直线A1B与AC夹角的余弦值为.答案：2．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．解析：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，所以＝(0,2,0)，＝(－1,2，0)，＝(0,2，－1)，设平面A1BC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，由令y＝1，得n＝(2,1,2)，设D1C1与平面A1BC1所成角为θ，则sinθ＝
10、cos〈，n〉
11、
12、＝＝＝，即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.答案：1．求异面直线所成角时易忽视角的范围而导致结论错误．2．求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值．3．利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易
13、错点．[小题纠偏]1．如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是________．解析：以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则D(0,0，0)，C(0,1,0)，E，F，＝，＝(0,1,0)，所以cos〈，〉＝＝－，所以〈，〉＝135°，所以异面直线EF和CD所成的角是45°.答案：45°2．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD
14、，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________．解析：如图所示，建立空间直角坐标系，设AB＝PA＝1，知A(0,0,0)，B(1，0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0，0,1)，由题意，AD⊥平面ABP，设E为PD的中点，连结AE，则AE⊥PD，又因为CD⊥平面PAD，所以AE⊥CD，又PD∩CD＝D，所以AE⊥平面CDP.所以＝(0,1,0)，＝分别是平面ABP，平面CDP的法向量，且〈，〉＝45°，所以平面ABP与平面CDP所成的二面角为45°.答案：45
15、° [典例引领] (2018·启东高三学情调研)长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2AD，E为CC1的中点，求异面直线BC1与AE所成角的余弦值．解：设AB＝AA1＝2，AD＝1，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E(0，2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，所以cos〈，〉＝＝.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.[由题悟法]用向量法求异面直线所成角的一
16、般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值．[即时应用] (2018·苏州模拟)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝60°，点E，F分别是BC，A1C的中点，求异面直线EF，AD所成角的余弦值．解：因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为
