高考数学总复习同步测试卷（八）平面向量、复数的概念及运算理新人教版

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1、同步测试卷理科数学(八)　【p299】(平面向量、复数的概念及运算)时间：60分钟　总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．复数1＋(i是虚数单位)的模等于(　　)A．4B．5C．2D．2【解析】1＋＝1＋＝1＋1＋2i＝2＋2i，则它的模等于＝2.【答案】C2．已知向量a＝，b＝，则“m＝1”是“a∥b”成立的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当m＝1时，a＝b可以推出a∥b；当a∥b时，＝m2＝1，m＝±1，不能推出m＝1

2、.所以，“m＝1”是“a∥b”成立的充分不必要条件．【答案】A3．在复平面上，复数z1，z2对应的点关于直线y＝x对称，且z1z2＝4i，则复数z1的模长为(　　)A．2B.C.D．1【解析】设z1＝a＋bi，则z2＝b＋ai，由z1z2＝4i，可知a2＋b2＝4，所以＝＝2.【答案】A4．如图，已知＝a,＝b,＝3，＝2，则＝(　　)A.b－aB.a－bC.a－bD.b－a【解析】由平面向量的三角形法则可知：＝＋＝＋＝(－)－＝－＋＝－a＋b.【答案】D5．已知不共线向量a，b，

3、a

4、＝

5、b

6、＝

7、a－b

8、，则a＋b与a的夹角是(　　)A.B.C.D.【解析】

9、法一：根据

10、a

11、＝

12、b

13、，有

14、a

15、2＝

16、b

17、2，又由

18、b

19、＝

20、a－b

21、，得

22、b

23、2＝

24、a

25、2－2a·b＋

26、b

27、2，∴a·b＝

28、a

29、2.而

30、a＋b

31、2＝

32、a

33、2＋2a·b＋

34、b

35、2＝3

36、a

37、2，∴

38、a＋b

39、＝

40、a

41、.设a与a＋b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝.法二：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB.∵

42、a

43、＝

44、b

45、，即

46、

47、＝

48、

49、，∴OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时＝a＋b，＝a－b.而

50、a

51、＝

52、b

53、＝

54、a－b

55、，即

56、

57、＝

58、

59、＝

60、

61、.∴△AOB为正三角形，则∠AOB＝60°，于是∠AOC＝

62、30°，即a与a＋b的夹角为.【答案】B6．△ABC是底边边长为2的等腰直角三角形，P是以直角顶点C为圆心，半径为1的圆上任意一点，若m≤·≤n，则n－m的最小值为(　　)A．4B．2C．2D．4【解析】如图所示，建立直角坐标系，则：A(－，0)，B(，0)，P(cosθ，＋sinθ)，由平面向量的性质可得：＝(cosθ＋，sinθ＋)，＝(cosθ－，sinθ＋)，由平面向量的数量积：·＝cos2θ－2＋sin2θ＋2sinθ＋2＝1＋2sinθ，据此有：mmax＝1－2，nmin＝1＋2，(n－m)min＝4.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5

63、分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．已知复数z满足z＝－3＋4i，则z的共轭复数是________．【解析】因为z＝＝＝＝－2＋i，所以z的共轭复数是－2－i.【答案】－2－i8．设x，y∈R，向量a＝(x，2)，b＝(1，y)，c＝(2，－6)，且a⊥c，b∥c，则＝__________．【解析】a⊥c2x－12＝0x＝6a＝(6，2)，b∥c－6－2y＝0y＝－3b＝(1，－3)＝a2＋2a·b＋b2＝40＋10＝50＝5.【答案】59．若向量＝(1，－3)，

64、

65、＝

66、

67、，·＝0，则

68、

69、＝________．【解析】法一：设＝(x

70、，y)，由

71、

72、＝

73、

74、知，＝，又·＝x－3y＝0，所以x＝3，y＝1或x＝－3，y＝－1.当x＝3，y＝1时，

75、

76、＝2；当x＝－3，y＝－1时，

77、

78、＝2.则

79、

80、＝2.法二：由几何意义知，

81、

82、就是以，为邻边的正方形的对角线长，所以

83、

84、＝2.【答案】210．已知△ABC，其中顶点坐标分别为A，B，C，点D为边BC的中点，则向量在向量方向上的投影为__________．【解析】因为＝，＝(－1，－2)，＝＝，故·＝2×－＝，由于＝，所以向量在向量方向上的投影为＝×＝.【答案】三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(16分

85、)已知平面上三点A，B，C，＝(2－k，3)，＝(2，4)．(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；(2)若△ABC中角A为直角，求k的值．【解析】(1)由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一直线上，即向量与平行，∴4(2－k)－2×3＝0，解得k＝.(2)∵＝(2－k，3)，∴＝(k－2，－3)，∴＝＋＝(k，1)．当A是直角时，⊥，即·＝0，∴2k＋4＝0，解得k＝－2.12．(16分)在△ABC中，＝＋.(1)求△ABM与△ABC的面积之比；(2)若N为AB中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值．【解析】

86、(1)在△ABC中，＝＋，可得3＝，即