高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法第2课时分段函数及映射学案

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第2课时　分段函数及映射学习目标　1.理解分段函数的定义，并能解决简单的分段函数问题(重点).2.了解映射的概念以及它与函数的联系与区别(难点).知识点1　分段函数分段函数的定义：(1)前提：在函数的定义域内；(2)条件：在自变量x的不同取值范围内，有着不同的对应关系；(3)结论：这样的函数称为分段函数.【预习评价】已知函数f(x)＝则f＝________，f＝________.解析　由题意得f＝2×－3＝－2，f＝f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1.答案　－2　－1知识点2　映射映射的定义：【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数是特殊的映射.(　　)(2)在映射的定义中，对于集合B中的任意一个元素在集合A中都有一个元素与之对应.(　　)(3)按照一定的对应关系，从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射是同一个映射.(　　)提示　(1)√　 根据映射的定义，当映射中的集合是非空数集时，该映射就是函数，否则不是函数；(2)×　映射可以是“多对一”，但不可以是“一对多”；(3)×　从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射不是同一个映射.题型一　映射的概念及应用【例1】　(1)下列对应是从集合A到集合B的映射的是(　　)A.A＝N*，B＝N*，f：x→|x－3|B.A＝N*，B＝{－1，1，－2}，f：x→(－1)xC.A＝Z，B＝Q，f：x→D.A＝N*，B＝R，f：x→x的平方根(2)已知映射f：A→B，在f的作用下，A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x－2y＋1，4x＋3y－1)，求：①A中元素(－1，2)在f作用下与之对应的B中的元素；②在映射f作用下，B中元素(1，1)对应的A中的元素.(1)解析　对于选项A，由于A中的元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值在B中找不到象，所以不是映射；对于选项B，对任意的正整数x，在集合B中有唯一的1或－1与之对应，符合映射的定义；对于选项C，0在f下无意义，所以不是映射；对于选项D，正整数在实数集R中有两个平方根(互为相反数)与之对应，不满足映射的定义，故该对应不是映射.答案　B(2)解　①由题意可知当x＝－1，y＝2时，3x－2y＋1＝3×(－1)－2×2＋1＝－6，4x＋3y－1＝4×(－1)＋3×2－1＝1，故A中元素(－1，2)在f的作用下与之对应的B中的元素是(－6，1).②设在映射f作用下，B中元素(1，1)对应的A中的元素为(x，y)，则解之得，即对应的A中的元素为.规律方法　1.判断一个对应是不是映射的两个关键(1)对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素与之对应.(2)B中的对应元素是不是唯一的.2.求对应元素的两种类型及处理思路(映射f：A→B)(1)若已知A中的元素a，求B中与之对应的元素b，这时只要将元素a代入对应关系f求解即可.(2)若已知B中的元素b，求A中与之对应的元素a，这时构造方程(组) 进行求解即可，需注意解得的结果可能有多个.【训练1】　下列各个对应中，构成映射的是(　　)解析　对于A，集合M中元素2在集合N中无元素与之对应，对于C，D，均有M中的一个元素与集合N中的两个元素对应，不符合映射的定义，故选B.答案　B典例迁移　题型二　分段函数求值问题【例2】　已知函数f(x)＝求f(－5)，f(1)，f.解　由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(1)＝3×1＋5＝8，f＝f＝f＝3×＋5＝.【迁移1】　(变换所求)例2条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.解　当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去；当－22x，求x的取值范围.解　当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2；当－22x可化为3x＋5>2x，即x>－5，所以－22x可化为2x－1>2x，则x∈∅.综上可得，x的取值范围是{x|x<2}.规律方法　1.求分段函数函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间.(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.2.由分段函数的函数值求自变量的方法 已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.【训练2】　函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________.解析　当x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，∴x0＝－或x0＝(舍去).当x0>2时，f(x0)＝2x0＝8，∴x0＝4.综上，x0＝－或x0＝4.答案　－或4题型三　分段函数的图象及应用【例3】　(1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式为________.(2)已知函数f(x)＝1＋(－20时，f(a)＝a2＝4，所以a＝2(a＝－2舍去)，故a＝－4或a＝2.答案　－4或25.作出y＝的图象，并求y的值域. 解　y＝的图象如右图.由图象可知y的值域为[－7，7].课堂小结1.对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数.分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集.(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况.2.函数与映射的关系映射f：A→B，其中A，B是两个“非空集合”，而函数y＝f(x)，x∈A，集合A为“非空的实数集”，其值域也是实数集.于是，函数是数集到数集的映射.由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射.基础过关1.设函数f(x)＝则f的值为(　　)A.B.－C.D.18解析　当x>1时，f(x)＝x2＋x－2，则f(2)＝22＋2－2＝4，∴＝；当x≤1时，f(x)＝1－x2，∴f＝f＝1－＝.故选A.答案　A2.已知集合A＝[0，4]，B＝[0，2]，按照对应关系f不能成为从集合A到集合B的一个映射的是(　　)A.f：x→y＝xB.f：x→y＝x－2C.f：x→y＝D.f：x→y＝|x－2|解析　A，C，D均满足映射的定义，B不满足集合A中任一元素在集合B中都有唯一元素与之对应，如A中元素0在B中无元素与之对应.答案　B 3.函数f(x)＝x＋的图象是(　　)解析　f(x)＝故选C.答案　C4.设函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝________.解析　若a>0，则f(a)＝－a2<0，∴f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，得a＝(舍负，舍零).若a≤0，则f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1>0，f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程无解.综上，a＝.答案　5.已知A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，5→5且7→11，若x→20，则x＝________.解析　由题意知⇒所以y＝3x－10，由3x－10＝20，得x＝10.答案　106.已知函数f(x)＝(1)求f(f(f(5)))的值；(2)画出函数的图象.解　(1)因为5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3.因为－3<0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.因为0<1<4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1，即f(f(f(5)))＝－1.(2)图象如图所示. 7.已知f(x)＝若f(x)≥，求x的取值范围.解　当－1≤x≤1时，f(x)＝x≥，即≤x≤1；当x>1或x<－1时，f(x)＝1－x≥，即x<－1.故x的取值范围是(－∞，－1)∪.能力提升8.设集合A＝{a，b}，B＝{0，1}，则从A到B的映射共有(　　)A.2个B.3个C.4个D.5个解析　列举法.共4个.答案　C9.设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)A.2B.4C.6D.8解析　由已知得a>0，∴a＋1>1.∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2(a＋1－1)，解得a＝，∴f＝f(4)＝2(4－1)＝6，故选C.答案　C10.如图所示，函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成，则函数的解析式为________.解析　当x≤1时，设f(x)＝kx＋b，由f(0)＝b＝2，f(1)＝k＋b＝1，得b＝2，k＝－1，即 f(x)＝－x＋2；同理可得当x≥3时f(x)＝x－2；当1≤x≤3时，由图可设f(x)＝a(x－2)2＋2，a<0，又f(1)＝a(1－2)2＋2＝1，得a＝－1，则f(x)＝－(x－2)2＋2＝－x2＋4x－2，所以f(x)＝答案　y＝11.已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________.解析　当a>0时，1－a<1，1＋a>1，∴2(1－a)＋a＝－1－a－2a，解得a＝－(舍去)；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，∴－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－.答案　－12.已知函数f(x)＝(1)求f(－1)，f，f(4)的值；(2)求函数的定义域、值域.解　(1)易知f(－1)＝0，f＝－×＝－，f(4)＝3.(2)作出图象如图所示.利用“数形结合”，易知f(x)的定义域为[－1，＋∞)，值域为(－1，2]∪{3}.13.(选做题)“水”这个曾经被人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度.因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业造成的损失达1500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市.为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y (单位：元).解　由题意可知：①当x∈[0，5]时f(x)＝1.2x；②若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，即：当x∈(5，6]时f(x)＝1.2×5＋(x－5)×3.6＝3.6x－12.③当x∈(6，7]时，f(x)＝1.2×5＋1×3.6＋(x－6)×6＝6x－26.4.∴f(x)＝