闫肖论文定稿

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1、准晶与Fibonacci序列研究姓名：闫肖学校：聚庆初中准晶与Fibonacci序列研究闫肖（蓝tn县汤峪镇，聚庆初中初三物理教师）摘要：Fibonacci序列是一个古老的问题，随着准晶的发现，人们了解到准晶具有长程的取向序而没有长程的平移对称性（周期性）的，即准晶的准周期结构具有长程位置序，这种特征可山Fibonac&数列加以认识。用Fibonacci序列作为一种一维准晶结构模型，该序列无周期性，但有严格的长程有序性。Fibonacci类准晶结构相对简单，具有丰富的物理内容。目前，研究最多的一维和二维Fibonacci类准晶结构，对高维准晶也可以通过投影法获其Fibona

2、cci序列，从而对其结构特点进行研究。关键词：准周期；准晶；Fibonacci序列1引言Fibonacci序列是一个很古老的数学问题，Fibonacci序列数列的所有项存在递推关系：Fn+i=Fn+Fn.i，并且当"T8时后一项与前一项的比恰好为黄金分割数rUJ。该序列无周期性，但有严格的长程有序性。准晶具有传统晶体结构不允许的5次旋转对称性，它具有长程取向序而没有长程平移对称性，是一种介于晶体和非晶之间的一种物质。准晶的准周期结构具有长程位置序与Fibonacci序列的长程有序存在着怎样的关系，对这个问题的探讨有助于我们对准晶结构的了解。准晶结构极为复杂，对其研究需要儿何

3、、代数等多学科的知识。本课题通过考察准晶结构与斐波那契序列的关系，揭示准晶的准周期结构的特点。2斐波那契序列意人利数学家Fibonacci^'!'著名的Fibonacci兔子问题。兔子生以后，两个月就能生小兔，若每次恰好生一对（一雌一雄），假如养了初生的小兔子一对，试问一年以后共有多少对兔子？为简化问题，假定所有小兔都能成活长大，所有大兔都能长生不死，而且永远有生殖能力。兔子繁殖情况可推算如下：第一个月，有一对小兔；第二个月这对小兔成长为大兔；第三个月，这对大兔生了一对小兔,共有大、小兔齐一对；第四个月，大兔又生一对小兔，原来的小兔又成长为大兔；第五个刀，人兔再生一对小兔，

4、上个刀的小兔成长为人兔，而另一对人兔乂生一对小兔，此时共有三对大兔，两对小兔，其余可以类推。令S代表一对小兔，L代表一对大兔，每隔一代（一个刀）代换规则可以表示为：StL,L—LS令Sn代表第n代（即第n个月）兔子的总数，则有S“+i=S„+S“即每一代的兔子数等于前两代兔子数的总和，如图1所示序列，按这一递推公式所确定的序列，称为Fibonacci序列。Fibonacci数列表示为｛Fn｝,则数列存在递推式Fn+1=Fn+Fn-I（1）（1）式中令F0=0,F1=k则任意一代兔子数见表一。n序列总数几“佗1L12LS22/13]SL33々4LSLLS55/35LSLLSL

5、SL88/56LSLLSLSLLSLLS1313/888图1兔子繁殖递推关系表1Fibonacci序列代数n012345678910111213兔子对数Fn（）1123581321345589233377以上例子蕴含着准周期的概念，兔子各代的繁殖数Z间的关系具有准周期结构的物理系统的雏形。由于Fibonacci数列相邻两项的后项与前项的比值，如13/8,34/21,…等，当序数n无限增大时,这一比值趋向于这一极限值lim=L618034•••=-（1+V5）=r（2）”T8FH2式中厂是一个无理数，称为黄金数，它等于美术中著名的“黄金分割”中长线段与短线段Z比（有时也把这比

6、值的倒数即1人称为黄金数）。序列｛S”｝中一共有Fn个，其中A有个，B有Fn_2。因此，在长序列中A的数目与B的数目之比，也趋近于—另外，。也是二次方程式t2-t-1=0的解，它的有理数近似值，由13/8,34/21,等所构成的级数给出。这一级数十分缓慢地收敛于「。Fibonacci点阵的准周期性，它是对应于高维周期结构的投影。如果将正方点阵的所有阵点都投影到K线上，则会出现投影点密不可分的情况。我们在正方点阵屮划出一条带（如图2屮两侧的两条虚线内），使投彩的阵点限制在此条带Z中，于是由这种条件下阵点在K线上的投影点构成斐波那契点阵LSLLSLSL…。Z/✓X■P-✓✓Xr

7、XX>/rL,X图2用截割投影法得到Fibonacci序列(3)Fibonacci序列还可以通过矩阵法表示/Q/1+i=<11)/、M>Jm丿/、£+1=A/、=A2/、=・・・=A”t仏、=A心T丄<%)宀-1丿W-2丿宀丿(4)计算岀A”_,就可算出色来。4的特征多项式为(5)

8、AI->_a]=才—A—1解方程，特征根为(6)1+石°,1-V5对应的特征值入，人的特征向量(7)(1+石1-VTP=2211£厉P_,AP=2001-V52(9)因此(10)n-1£亦=p>0、〃一101-V5计算得所以A”-】