高考数学第10章计数原理概率随机变量及其分布第6节离散型随机变量的均值与方差正态分布教学案

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1、第六节　离散型随机变量的均值与方差、正态分布[考纲传真]　1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．1．离散型随机变量的分布列、均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差：称D(

2、X)＝[xi－E(X)]2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．3．两点分布与二项分布的均值、方差均值方差变量X服从两点分布E(X)＝pD(X)＝p(1－p)X～B(n，p)E(X)＝npD(X)＝np(1－p)4.正态分布(1)正态曲线的特点：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积

3、为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(2)正态分布的三个常用数据①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.1．均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X)．2．超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正

4、确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(2)若X～N(μ，σ2)，则μ，σ2分别表示正态分布的均值和方差．()(3)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．()(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小.()[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√2．(教材改编)已知X的分布列为X－101Pa设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()A.B．4C．－1D．1A　[由概率分布列的性质可知：＋＋a＝1，∴a＝.∴E(X

5、)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.∴E(Y)＝3＋2E(X)＝3－＝.]3．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则随机变量η的均值E(η)及方差D(η)分别是()A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.6B　[设随机变量X的均值及方差分别为E(X)，D(X)，因为X～B(10,0.6)，所以E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，故E(η)＝E(8－X)＝8－E(X)＝2，D(η)＝D(8－X)＝D(X)＝2.4，故选B.]4．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜

6、4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝________.0．6　[由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.又正态曲线关于x＝2对称．则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，∴P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.]5．随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3，C为常数，则P(0.5＜X＜2.5)＝________.　[由P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，得＋＋＝1，解得C＝.所以P(0.5＜X＜2.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.]求离散型随机变量的均值、方差【例1】　(1)(2017·全

7、国卷Ⅱ改编)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝()A．1.96B．1.98　C．2　D．2.02(2)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．①求甲获胜的概率；②求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．(1)A　[依题意，X～B(100,0.02)，所以D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.](2)[解]　设

8、Ak，Bk分别表示“甲、乙在第k次投篮投中”，则P(Ak)＝，P(Bk)＝，其中k＝1,2,3.①记“甲获胜”为事件C，由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知P(C)＝P(A1