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《高等代数教案北大版第六章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、授课内容第六章线性空间第一讲集合映射教学时数2授课类型讲授教学目标通过本节的学习，掌握集合映射的有关定义、运算，求和号与乘积号的定义教学重点集合映射的有关定义教学难点集合映射的有关定义教学方法与手段讲授法启发式1•集合的运算，集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念定义:(集合的交、并、差)设S是集合，A与B的公共元素所组成的集合成为A与B的交集，记作A^B；把A和B中的元素合并在一起组成的集合成为A与B的并集，记做AB；从集合A中去掉属于B的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A与B的差集，记做AB.定义:(集合的映射)设A、B为集合•如果存在法则f,使得A中任意元素
2、a在法则f下对应B中唯一确定的元素(记做f(a)),则称f是A到B的一个教映射，记为TTf:AB,af(a).学=€过如果f(a)bB,贝【Jb称为a在f下的像，a称为b在f下的原像.A的程所有元素£f下鬲像必成的B的子集称为A在f下的像，记做f(A),即f(A)Jf$)冃A.*V已若3a*都有f(a)f(a*),则称f为单射.若bB,都存在aA，使得f(a)b,则称f为满射.如果f既是单射又是满射，则称f为双射,或称对应・2.求和号与求积弓(1)求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号讨论、练习与课后反思设给定某个数域K上n个数ai,a2,•
3、•-,a，我们使用如下记号：n++・aa12+anan当然也可以写成an<V),
4、又设K为数域.V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“•”(KxVV),且“+”与“•”满足如下性质：K加法交换律Va,P€V,有a+P=P+a；2、加法结合律Va,V，有(a+P)+Y=a+(B+7)；教3、存在“零元”，即存在0丘V,使得VaeV,0+a=a；学4、存在负元，即Va€V,存在PeV，使得a+P：=0；过5、“1律”1.a=a；程6、数乘结合律vkJeK,aeV,都有(kl)ak(l7、分配律7k,leK,a€V，都有(k+l)a=ka'平；&分配律vk€tPWk(a+P)=k("4,则称V为K上的一个线性空间，我们把线性空间中的元素称为向量•注意:线性空间依
5、赖于“+”和“•”的定义，不光与集合V有关.(2)零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义，线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质命题1零元素唯一，任意元素的负元素唯一・证明：设0与O'均是零元素，则由零元素的性质，有QO0=O'；Vaev,设卩，B'都是a的负向量，则P=O+P=(P'+a)+P=P'+(a+P)=P+O=P,于是命题得证•由于负向量唯一，我们用-a代表a的负向量.定义2(减法)我们定义二元运算减法“如下：a-卩定义为a+(-P).命题2线性空间中的加法和数乘满足如下性质：1>加法满足消去律a+Y=P+Y=ja=P；2>可移项a+B=?=a=/—
6、卩；3、可以消因子ka=p且k=0,则4、0»a=0,k・0=0,(~1)a=-a.(3)线性空间的例子彳列1令V表示在(a,b)上可微的函数所构成的集合，令K.V申恤I法的定义就是函数的加法，关于K的数乘就是实数遇函数的乘法,V构成K上的线性空间.二线性空间中线性组合和线性表出的定义，向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述，向量组的秩，向量组的线性等价；极大线性无关组•定义3(线性组合)给定V内一个向量组％,0(2,川,ots,又给定数域K内s个数ki,k2,川,ks,kiai+k2a2+川抵％为向量组ai,a2,HI,as的一个线性组合.定义4(线性表出)给定V内一
7、个向量组ai,a2l*lFs,设卩是V内的一个向量，如果存在K内s个数ki,k2,川，ks,使得=kiai+k2a2+ksas)则称向量&可以被向量组n,川,S线性表岀.定义5(向量组的线性相关与线性无关)给定v内一个向量组a1,a2,lll,as,如果対内某一个向量K内不全为零的数ki,k2,
8、
9、
10、,ks,使得ka+ka+川+ka=，则称向量组ai,a2,
11、(
12、,as线性相关；若由方程1122ss0kiai+k2a2+
13、(
14、+ksas=0必定推出k=k=
15、
16、
17、=k=,则称向量组12s0aaHIa1,2
