中考数学复习指导：辨析分式方程增根与无解

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1、辨析分式方程增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中的两个重要概念，两者既有区别，又有密切的联系.对于分式方程，当分式中分母的值为零时，分式方程无意义，所以分式方程不允许未知数取那些使分母的值为零的值.在分式方程转化为整式方程的变形屮，这种限制被取消了，使原方程中未知数的取值范围扩大了，导致转化后的整式方程的根可能是原方程未知数的允许值范围之外的值，从而产生了不是原方程的根，即分式方程的增根，而分式方程无解有两种情况，其一是变形后的整式方程本身无解；英二是整式方程有解，但这些解使最简公分母的值为零，即为分式方程的增根.现以含有字母参数的分式方程为例，来阐述

2、如何辨析增根与无解的具体问题.一、己知分式方程有增根，求字母参数k1y+]例1若关于X的方程——==有增根，求k的值.X--%3兀3x—3分析解分式方程的一般方法是先去分母，将分式方程转化为整式方程.由于该方程各分母是多项式，以便快速准确地找岀最简公分母，在去分母之前先对各分母分解因式，也便于确定增根，然后将增根依次代入整式方程，便可求得字母系数的值，增根可从分式方程的各分母中直接求得.解原分式方程变形为k1_x+兀（兀一1）3x3（兀一1）方程两边同乘以3x(z-l),得3^-(x-1)=x(x-1),整理得J+2x-(3A+1)=0.由于原方程有增根，

3、所以解这个整式方程可能得到％=0或%=1-把兀=0代入%2+2%-(3A：+1)=0中，1得"-才；%=1代入%2+2%-(3A+1)=0中，2得=p•,所以，原方程有增根时：的值为'k二或丘=»点评对于分式方程增根的问题，将分式方程转化为整式方程，然后将增根依次代入整式方程可求得字母参数的值.二、已知分式方程无解，求字母参数例2若关于x的方程兰二丝=1无解，求a的值.x-2x分析关于x的分式方程无解有两种情况：当分式方程的分母X—2=0或x=0时，方程出现增根而无解；另外，化分式方程为整式方程，使整式方程无解，从而分式方程无解.解给方程两边同乘以x(x-2

4、),得x(x—2a)—3(x—2)=x(x—2),化简整理为关于x的方程(2a+l)x=6.因为分式方程无解，有可能是整式方程无解，也有可能是整式方程有解，但是这解是增根，需要舍去，导致无解.于是，①当2a+l=0时，可知方程(2a+l)x=6无解，即&=—丄，原分式方程无解.2②当2a+lH0时，方程(2a+l)x=6有解，这时x=2或x=0可能是分式方程的增根,因此，当x=2时，(2a+l)X2=6,得a=l；当x=0时，（2a+l）X0=6不存在这样的a值・所以，当a=l或a=--时，关于x的方程兰二=1无解.2x-2x点评对于分式方程无解的问题，先将

5、分式方程转化为整式方程，既要注意使整式方程无解的字母系数符合题意，同时乂要把增根代人整式方程，可求得字母系数的值，两个方面都要兼顾.三、己知分式方程解的符号，求字母参数例3当m为何值时，关于％的方程冷-三丙祐的解是正数.解去分母并整理，得・••原方程的解是正数，•*.x>0即L£“〉0,.・.m<1.乂因为原方程可能产生的增根是x.=和尤=2,.・.当％=-1时，1：皿=-1,得m=3；=2,得771=-3.•••当D1V1吋，原方程不可能的增根X=—1.・••当m

6、根，即要代入验证,应为排除能使原方程产生增根的具体值，否则就会出现错解.四、从分式合并的角度出发，求字母参数例4若士击刁成立’求人的值•解对原式左边通分，得_4(a-1)+a(a+2)(a+2)(a-l)_/+2q+a4-A・(a+2)(a-1)=4a-1•(a+2)(a—1)从运算的结果分析，分式的分子a2+2a+aA-A与4a—l应相等，但滋一1是一个关于a的一次二项式，而a2+2a+aA-A是一个关于a的二次三项式，无法做到使两个分子的对应项的系数相等.由于分子相等是无疑的，因此，可以从解方程的角度来考虑解决问题.由题意，可得(1+2a+aA-A=4a

7、-1,移项整理，得(L—2a+1+aA—A—0,化简得(a-l)(a-1+A)=0...&+a_4a-1出亠•a+2a-1_(a+2)(a-l)飒"，.・.分母。+2工0,且。-1#0,要使(a-l)(a-l+4)=0,必是a-1+虫=0,即4=1-a.点评此题既可以从分式的合并出发来考虑问题，乂可以从分式方程的角度出发解决问题，具有双重性，无论从哪一个角度出发能使等式成立，足够说明分式的分母均不为零,就给解整式方程带来了方便.