复合函数零点问题2

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1、复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设y=f(t),t=g(x),且函数g(x)的值域为/(/)定义域的子集,那么y通过r的联系而得到自变量兀的函数，称y是x的复合函数，记为y二/[g(x)]2、复合函数函数值计算的步骤：求y=函数值遵循''由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知f(x)=2g(x)=x2-x,计算g[/(2)]解：.几2)=22=4・・・g[.f(2)]=g(4)=123、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x的值。例如：已知/(x)=2g(x)=x2-

2、2x,若g[/(x)]=0,求兀解：令r=/(x),则g(t)=0=>t2-2t=0解得t=0,t=2当r=0^/(x)=0^2v=0,则兀w0当f=2=>/(x)=2=>2x=2,则x=l综上所述：x=l由上例可得，要想求出g[/(x)]=0的根，则需要先将/(x)视为整体，先求出/(对的值，再求对应无的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义:4、函数的零点：设.f(x)的定义域为D,若存在xogZ),使得/(xo)=O,则称x=x0为/(x)的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于尢的方程g[/(x)]=0根的个数，在解此

3、类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于/(x)的方程，观察有几个/(兀)的值使得等式成立；第二层是结合着第一层/(兀)的值求出每一个/(对被几个x对应，将兀的个数汇总后即为g[.f(x)]=0的根的个数6、求解复合函数y=g[f(x)]零点问题的技巧：(1)此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作的图像(1)若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于/(兀)的方程g[/(x)]=0中/(x)解的个数，再根据个数与/(兀)的图像特点，分配每个函数值/(兀)被儿个x所对应，从而确定Z(x)的収值范围，进而决定参数的范围复合函数：二、典型例题

4、,XH1例1：设定义域为/?的函数/(兀)二卜-1

5、,若关于兀的方程1,兀=1f2(x)+bf(x)+c=0由3个不同的解兀],兀2,兀3，则彳+卅+球=例2：关于兀的方程(^2-1)2-3

6、x2-1

7、+2=0的不相同实根的个数是()A.3B.4C.5D.8例3：已知函数f(x)=

8、x+—

9、-

10、x-—

11、,关于兀的方程f2(x)+af(x)+b=0XX(a,be/?)恰有6个不同实数解，则。的収值范围是.2m-1,00时，f(x)=l1,则关于兀的•)i/(x-2),x>2方程6[/(x)]2-/(x)-1

12、=0的实数根个数为()A.6B.7C.8D.9例5:若函数/(X)=X3+tZX2+/?X4-C有极值点兀]，兀2,且/(兀

13、)=西，则关于兀的方程3(/(x)『+20(x)+b=0的不同实根的个数是()A.3B.4C.5D.6例6：已知函数/(x)=

14、x2-4x+3

15、,若方程[/(x)]2+^(x)+c=0恰有七个不相同的实根，则实数b的取值范围是()A.(-2,0)B.(-2,-1)C.(0,1)D.(0,2)例7：已知函数/(x)若关于X的方程严(兀)_吋(兀)+加一1=0恰有4个不相等的实数根，则实数加的取值范圉是((\(\A.—,2U(

16、2,幺)B.—,1J1、<1)C.1,1+—D.-,e二丿例8：已知函数/(对=｛打+；：；初则下列关于函数y=/(/(x))+1的零点个数判断正确的是()A.当d>0时，有4个零点；当dVO时，有1个零点B.当。〉0时，有3个零点；当avO时，有2个零点C.无论d为何值，均有2个零点D.无论G为何值，均有4个零点(1yx—+l^x>0例9:已知函数/(x)=x3-3x2+l,^(x)=I2丿,则方程—(兀+3)~+1,兀50(1)方程/[§(%)]=0有且只有6个根(3)方程/[/(x)]=O有II只有5个根(2)方程g[/(x)]=0有且只有3个

17、根(4)方程g[g(x)]=0有且只有4个根g[/(x)]—Q=O(a为正实数)的实数根最多有个例10：已知函数y=f(x)和y=g(兀)在[一2,2]的图像如下，给出下列四个命题:则正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4