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1、高考数学压轴题(函数与导数专题五)题型(五)函数与导数性质的综合应用问题(22题)1.已知函数f(x)=xe'xeR)⑴求函数/(兀)的单调区间和极值；⑵已知函数y=g(x)的图彖与函数y=/(x)的图彖关于直线兀=1对称，证明当尤>1时，f(x)>g(x)(3)如果兀］斗2,且/(兀［)=/(兀2)，证明兀］+兀2>2解：木题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力.(1)/(%)=(!-%>■v，令fx)=0,得兀=1当兀变化时，.厂(兀)，/(兀)的变化情况如下表X(1)1(1,+°°)+0—□极大
2、值nA/(x)在(-8,1)内是增函数，在(1,+-)内是减函数；极大值/(1)=-.e⑵证明：由题意可知gd)二/'(2—劝，・・・gd)=(2—方/一2.令F3=f3一&3=xe~x+(x-2)ex~2,则Fx)=(x-l)(e2x~2-l)e~x当兀>1时,2l2>0,从而e2x-2-1>0,又厂>0,所以F(兀)>0,从而F(兀)在［1,+-)是增函数。又F(iyT=0,所以％〉耐,有F3>F⑴二0,即f{x)>g{x).⑶证明：①若(画一1)(兀2T)=0,由⑴及/(旺)=/(兀2)，则兀］=兀2=1，与兀［工兀2矛盾・②若(X,-1)(X2-1)>0,由⑴及
3、/(旺)=/(兀2),得兀］=兀2,与兀1工兀2矛盾.・•・根据①②得(西一1)(兀2一1)V°，不妨设兀1V1,七>1・由⑵可知,/(x2)>g(x2),ro/(2-x2),从而/(%,)>/(2-x2).因为x2>1,所以2-x2<1,又由⑴可知函数/(x)在区间(一8,1)内是增函数，所以x,>2-x2，即x,+x2>2.Y—12.已知函数/(x)=—(xgR).⑴求函数.f⑴的单调区间和极值；e(2)已知函数y=gM对任意X满足g(x)=f(4-x)，证明：当兀>2时,/(x)>g(x);(3)如果西工兀2,且/(xi
4、)=f(X2)，证明：兀i+%>4.X—12—x解：(1)V/U)=—•••/©)二TT・(2分)ee令fM=0,解得x=2.X(-8,2)2(2,+8)fXx)+0——fM/极大值一eX・・・/(兀)在(-汽2)内是增函数，在(2,+oo)内是减函数.(3分)・••当x=2时，/(x)取得极大值/(2)二-.(4分)e⑵证明：•・•g（兀）=/（4一兀）,••・g（x）=丄仝・令F（兀）=/（%）-«?（%）=一，eee贝qF‘（兀）二匕_匕=（2_兀）（幺3_）.（6分）严严当x>2时，2-x<0,2兀一1>3,从而<0,・・・Fx）>0,F⑴在（2,+oo）是增函
5、数.（7分）・•・F（x）>F（2）=丄—丄=0,故当x>2时,/（x）>g（x）成立.（8分）ee（3）证明:V/W在（一8,2）内是增函数,在（2,+oo）内是减函数.・••当壬工兀2，且/（X,）=/（X2）,西、吃不可能在同一单调区间内.・•・/（心）>/（4一％2）・不妨设%!<2g(x2),又^(x2)=/(4-x2),V/(%!)=/(x2),.-./(%,)>/(4-x2).(12分)Vx2>2,4-x2<2,x,<2,且/O)在区间(一8,2)内为增函数,Ax,>4-x2,,即x{+x2>4.3.已知函数/(x)=ln(x+l
6、)，g(x)x'T,(I)若F(兀)=/(兀)+",求尸(兀)的单调区间;(II)对于任意的勺>舛>0,比较/U2)-/(^i)与gC^—K)的大小，并说明理由.・尸3二15二心〃+1解：(I)F(兀)=/(兀)+/x=lnC¥+l)+/zr,••x+ix+1,i分①当厂0时，尸（兀）>0在（-1,+8）上恒成立，・・・F（x）的递增区间为（一1,+9>；2分②当时，尸（兀）的递增区间为（一1，+°°）；（-1,-1）（-1，+8）③当°v°时，F（x）的递增区间为P,递减区间为P■-qXI_夕兀一1(II)令GCrrgoo-yx兀)=/-i-in(x+i)(兀>一1)
7、,**"一'x+i~兀+1,令H(x)=exx+ex-l(x>-1)=ex(x+2)>0在(-1,+x)上恒成立，・•・当兀>0时，H(Q>H(O)=°成立，・•・(/(兀)〉°在x>0上恒成立，•••G(x)在(°，+°°)上单调递增，・•・当兀>0时，g)〉G(0)=0恒成立・・・当无>0时，g(x)-/(兀)>°恒成立
8、・••对于任意的兀2>西>°时，g(x2-x})>f(x2-xi)f又:花一£+1_+1=內E~—>0・ln(x2-Xj+1)>In®十"=ln(x2+1)-(x}+1)Xj+1X]+1Xj+1・•
