资源描述：
《数形结合命题初步研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、数形结合命题初步研究【摘要】数与形是数学研究的两个对象。数形结合法在解题屮的应用则直接体现了这种数学思想，该法使用的主动性和熟练性，集中表现出学生的数学意识和潜质，反映了数学的简练和趣味。本文就数形结合的历史、定义进行阐述，对数形结合的原则、数形结合思想在教学中的应用以及其教育意义进行研究，得出一些重要的结论。【关键词】数形结合；原则；应用；教学所谓数形结合就是根据数学问题的条件与结论Z间的内在联系，即分析其代数含义又揭示其几何意义。使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”寻找解题思路使问题
2、得到解决。数形结合思想是研究数学问题并实现问题模型转换的一种基本思想和方法，它能沟通数与形的内在联系。该思想也是高考重点考察的数学思想之一，在各个层次、各个阶段的命题中，都有着较充分的体现。利用数形结合法可以把复杂问题简单化、抽象问题具休化，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一。一、数形结合的原则在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则。以转化等价原则为例：运用数学工具，把代数关系转化为几何问题、将几何问题转化为代
3、数关系，我们遵循等价转化的原则。例1•如图1,已知五边形ABCDE,M、N、P、Q分别是边AB、CD、BC、DE的屮点，K、H分别是MN和PQ的屮点，求证：KH平行且等于・AE。证明：取平面内任一点0,则=■(■+■)=■(■+■+■+■)所以■二■-■二■(■-■)二故KH平行且等于・AE该题运用平面向量解决平面儿何问题，可以把儿何问题迅速转化为数量关系，从而计算出所要证的结论，较好的体现了数学中的数形结合的思想。二、数形结合思想在教学中的应用(-)以形为手段，数为目的，揭示形屮数的本质许多儿何问题不是单纯的图
4、形研究，通过形的特征分析，转化为其内在的数量特征，揭示了山形到数的联系与规律。以形助数的常见模式有：直线斜率型、两点间距离型、直线截距型、点线距离型、定比分点型、正余弦定理型、面积体积型。以形助数的的具体应用：例2,解决直线与圆的相切问题：(1)已知圆心和切线求圆的方程；例2.求以C(］、3)为圆心,并和直线3x-4y-6=0相切的圆的方程。提示：山题意知，设圆的方程为(xT)2+(y-3)2=r2,以C(1>3)为圆心的圆与直线3x-4y-6二0相切，则圆心到直线的距离就是该圆的半径ro(2)已知圆的方程和切点
5、求切线的方程；例3•求过圆0：x2+y2二1上的点A(1,1)的切线方程。提示：山题意知，设切线的方程为y二kx+b,山于过切点的半径垂直切线，则过圆心()(0,0)与切点A(1,1)所形成的直线的斜率与切线的斜率k乘积为-1,所以k二-1。而且切线过切点A(1,1)即可求出切线方程。(3)已知切线的斜率和圆的方程求切线的方程；例4•求圆6x2+y2二1的一条切线的斜率为5,求该切线方程。提示：由题意知，设切线方程为y二5x+b,根据圆心()(0,0)到切线的距离等于半径1,即可解出b。(4)已知圆的方程和圆外一
6、点求切线的方程。例5•从圆x2+y2二10外一点P(4,2)向该圆引切线，求切线方程。提示：由题意知，设切线的方程为y二kx+b,利用过点P(4,2)以及圆心()(0,0)到切线的距离等于半径1,这两个条件即可求出k,bo以上几题均可用待定系数法，而待定的系数、常数就是通过形到数,转化为其内在的数量特征來解题的。(-)利用图形研究方程、不等式问题(1)当方程或不等式两边对应的函数的图像容易做出时，可将方程或不等式的问题转化为研究两个函数图像的交点或位置关系的问题。例6•若方程lg(-x・+3x-m)=lg(3-x
7、)在［0,3］有唯一解，求实数m的取值范围；提示：可将题等价变形为-x・+3x-m〉03-x>0且满足方程-x・+3x-m二3-x在［0,3］有唯一解。这样题目就显得比较简单。可以做出y二-x・+3x-m和尸3-x的图象，根据其在［0,3］的交点只有一个。求出m的取值范围。(1)构造三角形证明不等式例7.已知为x、y、z为正数，0■证明：如图2,构造三角形ABC,在三角形内収一点0,连接0A、0B、OCo■设0A二x,0B=y,0C=zo由余
8、弦定理可得：AC=BBC*AB二再由三角形的两边之和大于第三边即可得证。(2)构造正方形证明不等式例8.已知xERB,a,b,c,d均是小于的x的正数，求证：■+■+■+
9、<4x提示：细心观察不等式发现不等式的左边很容易想到用勾股定理，且每式代表的直角三角形的一斜边，任意a+(x-a)二b+(x-b)二c+(x~c)二d+(x-d)o凭直觉可构造边长为x的正方形。如图3所
