向量教学中的通性通法

《向量教学中的通性通法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、向量教学中的“通性通法”向量的特有的“神”(处标形式)形(儿何形式)兼备这一特征，使向量及其平行、垂直的充要条件都有其坐标表示形式和几何表示形式，加Z向量的数量积不仅是一个数值，而且与向量的夹角及其余弦值密切联系，使得它必然成为沟通数学个主要分支(解析几何、立体儿何、三角知识、数列等知识)，嫁接数学知识Z间横向联系的重要桥梁和纽带，沟通着初中数学的有关知识，与高中数学中的函数、三角、解析几何、立几几何的知识密切相关,决定了作为新课程卷新增内容的向量必然成为支撑数学学科知识体系的垂点知识。由于向量有其独特的形式和内涵，因此解题方法也

2、多种多样，各领风骚，主要的有以F几种通性通法：1.巧用“回路”在平面封闭图形中，根据首尾相接的向量和为零向量，构造出一个向量等式，再根据向量加法的三角形法则、平行四边形法则进行化简求解。【例】如图，己知任意平面四边形ABCD'P，E、F分别是AD.的屮点，求证：

3、莎卜*(AB+DC).【证明】如图，在四边形CDEF中，EF+FC+CD+DE=().在四边形ABFE^fEF+FB+BA+AE=O.①+②得(EF+EF)+(FC+FB)+(CD+BA)+CDE+AE)=0.•・•£、F分别是AD.的中点,FC+FB=0,DE+AE=0

4、.：.2~EF=-CD-BA=AB+DC.因此£F=-(AB+~DC).2【评析】在四边形仞肋和在四边形力刃込中写出向量的“回路”形式是破题的关键。“回路”是向量解题的一个特点，看似简单，但其应用广泛。2.数形结合由于向量具冇代数和几何的双重特征，因此充分挖掘问题的几何背景，数形结合往往是化解问题难点的制胜法宝。【例】(2003年高考新课程题)设O是平而上一定点，A、B、C是平而上不共线的三点，动点P满足——-—-ARACOP=04+2(=^+=^),几w[(),+oo),则P点的轨迹通过AABC的()AB\AC*AB—-A

5、N—-———-【解】记AM==^,AN==^，则AM、A/V都是单位向量，设AQ=AM+AN,AB\AN•/AM=ANfAMPN是菱形，.•.AQ平分ZBAC,vOP=04+AP,,而由条件知OP=OA+AAQ,:.AP=AAQ,(Ae[0,+oo)),・••点P的轨迹是射线AQ,且AQ通过AABC的内心.・・・应选B。AB—-aN►—►【评析】如果设AM，则AM.AN都是单位向量，这是构造单位向AB\AN量的一条捷径.【例】点P为直线L上一点，A为L外一-点，&为L上的单位向量，点人为点4关于直线L的对称点，

6、若用0和石表示鬲】，则鬲】二.A【解】如图，作AB±L于B,则PB=(PA-e)e,AB=PB-PA,••■■•■・••••■•・•■所以PA、=PB+BA、=PB+AB=2PB—PA=2(PA0)0—PA.【评析】本题解法构思精巧，别出心裁，特别是PB=(PA^e)e是向量数量积几何性质的巧妙应用。1.“模”取平方模是向量的一个特性，许多问题都与此相关，向量的模形式上是距离和根式，它的解—♦—♦—♦—♦—♦*7—♦2题方法以两边平方为佳。ljd=lylolxF=lyFo/=y是处理向量模常用的方法，通过平方以及利用向量数量积等知

7、识转为为实数的有关问题的研究。这种方法往往与数学小整体处理方法相结合。【例】(2005年高考浙江卷(理))已知向量：l：l=1满足：对任意rGR,恒^a~te^a—e,则()—♦f—♦—>—*—*—>f—>fA.a丄"B.a丄(a—w)C.w丄(a—e)D.(a+e)±—>—>(a—£)【解】T/WR,恒有la-tel^la-el,等价于la-tel2^la-el2恒成立，即(a-te)(a-e)?恒成立.展开整理得t2-2a・et+(2a・：一1)20对任意/ER均成立.则需方程的判别式A=(-2a・e)2-4(2a・：

8、一1)£().整理得(:・訂一2(：・：)+lW(),即(:・：一1)匕()，・・：・：=1.f—#—0f—ff—f:■e—e)=e•a—e2=—1=0./•e丄(a—£)•二应选C.—一—一—2—2————【评析】Ix土y

9、2=(兀土y)?二x+y±2x-ycos

10、证明相关的平面儿何时尤为■1■常用。特别地,向量的中点公式0M=-(OA+OB),M为A、B的中点。【例】在AABC内求一点P,使AP'+Bptc，取得最小值，该点是三角形的A.垂心B.内心C.重心D,外心【解】如图，^CA=5,CB=b,CP=x