通性通法：我们的常规武器

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1、通性通法：我们的常规武器江苏省清河中学顾燕红高中数学学习主要是贯穿两条主线，即数学知识和数学思想方法。而通性通法蕴含着丰富的数学思想和方法，更贴近我们同学们的认知水平，符合大多数同学的思维习惯，同时还有利于培养我们的数学能力，因此，同学们在平时学习中时要熟练掌握通性通法，并能够灵活应用；对那些适用面窄，局限性大的特殊技巧性的方法应予以淡化，以免削弱对通性通法的复习和训练。从高考数学试题中可以明显看出，高考重视对基础知识、基本技能和通性通法的考查。所谓通性通法，是指具有某些规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学思想方法。现

2、在高考比较重视的就是这种具有普遍意义的方法和相关的知识,所以我们在平时的学习中更应该注重通性通法的总结和使用。下面以数列和解析几何两类题目为例，让同学们感受通性通法的重要性和适应性。一、数列中通性通法的应用等差和等比数列中基本量的运算就是等差和等比数列中常见的通性通法。等差和等比数列中有五个量最基本的量是，在条件和结论一般不明显时,均可以用列方程组求解.在研究等差和等比数列的问题中,要确定基本量离不开方程思想.在具体求解时,特别在等比数列得到的方程往往是高次方程,因此,要注意优化和化简.另外在等比数列基本量的运算时,如果借助

3、等差等比数列的性质解题,思路清晰,过程较为简捷.例1、在等差数列中，.(1)求；（2）若.解：方法1：（1）设的公差为，则.解得.所以.（2）由（1）得.所以，得.所以.方法2：设的公差为，由，得，即，故，解得，再求出，下同方法1。4评注：基本量是相对的，方法2中，基本量是，有时将定值作为基本量比较简捷，不一定都是选择。这里选择基本量的优劣还不明显，请看下题。例2、在等差数列中，前n项的和记为，若，求.思路一、利用公式，求出,再求出。解：设等差数列的首项为，公差为，则解得所以该题虽然用基本量法解运算量有点大，但是只要细心的算

4、下去是完全可以算出来的。如果我们选择其他基本量，结果就大不一样。思路二、注意到条件中的前n项和中的n都是10的整数倍，因此我们可以将此数列分段，由于分段后，每段和作为一项，按原来的顺序构成的数列，仍然是等差数列：令，则原题就转化成：已知数列是等差数列，前n项的和记为，若，求.显然转化后的问题解答过程就简单了，实际上这里有“换元”，即整体的意识。思路三、我们思路再转化一下，我们可以令，我们将看成基本量，再求解，就更直接，因此就比较简单。从以上几种思路看，虽然下面两种思路看起来简单，但是书写起来难以规范，因此，一般情况之下，解答

5、题我们一般还是用常用的基本量，填空和选择题，选择有变化了的基本量。例3、等比数列中，已知，求。解：因为，所以解得而所以解得：以上3个例题都是我们同学们在平时的学习中经常遇到的，通过介绍等差和等比数列几个基本量的求法,进而巩固和加深对等比数列通项公式和求和公式的应用,能够达到知三求二,灵活应用公式的目的。4例4、（2011江苏高考13题）设成公差为1的等差数列，则的最小值为解析：由题意可知，数列可以写成，所以可以得到以下不等式恒成立，于是所以解决该题的关键抓住数列中的基本量，经过两次转化，首先将转化为基本量和，再根据问题求的最

6、小值，就可以将题目转化为上述不等式组，只要学生掌握数列中基本量法和转化思想，便可以顺利求解了。该题在当年的得分率并不高，主要是有很多同学看到题目后就考虑技巧性的方法，或者是随便找几个值代进去，结果都没有准确算出答案，虽然有些同学猜出来了，但成功率很小.这说明通性通法在解决问题中，有其一般性，因此也是我们应该掌握的方法。二、解析几何中通性通法的应用解析几何中最核心的思想是：利用代数的方法研究几何问题，即通过坐标的代数形式解决几何中的相关问题。例如，将直线方程和圆锥曲线方程联立，整理成一元二次方程，再利用判别式、求根公式、根与系

7、数的关系解决．例5、已知抛物线，直线交抛物线于两点，交轴正半轴于点，若,则的值为解析：因为由于它的代数形式简单，所以想到设两点坐标设由当直线的斜率存在时，设为，方程为由得而成立，所以满足条件.又，所以(舍得)所以当直线的斜率不存在时，则由，则所以或（舍去）所以综上所述4评注：坐标法处理解析几何问题是通性通法。这是因为，代数问题我们比较熟悉且有统一的方法，几何我们研究得不多且方法往往技巧性较高，因此我们常常用代数研究几何。这里要强调的是，引入直线的方程我们采用的是常用的点斜式，我们如果采用这样的形式：，不但运算量小，而且不需要

8、分类讨论，同学们不妨一试。这同时说明，选择基本量时也有一定的讲究。这些问题都蕴含了解析几何的基本思想方法---用坐标研究几何，这种通性通法在高中数学中是很多的.其实每一章节都有通性通法，同学们在平时的学习过程中要对这些普遍性的东西不断地进行概括总结，不断地在具体解题中细心体会．现在高考命题