2020年中考数学知识点归类《48几何最值》(2019中考原题)

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1、一、选择题12．（2019·长沙）如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是【】A．B．C．D．10【答案】B2.3.二、填空题16．（2019·黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8.点M为AB的中点.若∠CMD＝120°，则CD的最大值是.【答案】14【解析】将△CAM沿CM翻折到△CA′M，将△DBM沿DM翻折至△DB′M，则A′M＝B′M，∠AMC＝∠A′MC，∠DMB＝∠DMB′，∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠

2、DMB＝∠A′MC+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝180°-（∠AMC+∠DMB+∠A′MC+∠DMB′）＝60°，∴△A′MB′是等边三角形，又∵AC＝2，BD＝8，AB＝8.点M为AB的中点，∴A′B′＝A′M＝B′M＝AM＝AB＝4，CA′＝AC＝2，DB′＝DB＝8，又CD≤CA′+A′B′+DB′＝2+4+8＝14.三、解答题24．（2019山东威海，24，12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方

3、向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止，设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．（1）求证：CE＝EF；（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）求△BEF面积的最大值．【解题过程】（1）证明：过E作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB⊥AD，∴MN⊥AD，MN⊥BC，∴∠AME＝∠FNE＝90°＝∠NFE＋∠FEN，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠AEM＋∠FEN＝90°，∴∠AEM＝∠NFE，∵∠DBC＝45°，∠BNE＝90°，

4、∴BN＝EN＝AM.∴△AEM≌△EFN（AAS）.∴AE＝EF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝CE＝EF.（2）在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝＝10，∴0≤x≤5.由题意，得BE＝2x，∴BN＝EN＝x.由（1）知：△AEM≌△EFN，∴ME＝FN，∵AB＝MN＝10，∴ME＝FN＝10－x，如图（1），当0≤x≤时，∴BF＝FN－BN＝10－x－x＝10－2x.∴y＝BF·EN＝＝－2x2＋x（0≤x≤）；如图（2），当＜x≤时，

5、∴BF＝BN－FN＝x－（10－x）＝x－10，∴y＝BF·EN＝＝2x2－x（≤x≤）.∴（1）（2）（3）y＝－2x2＋5x＝－2（x－）2＋，∵－2＜0，∴当x＝时，y有最大值是；即△BEF面积的最大值是；当＜x≤时，y＝2x2－x＝－，此时2＞0，开口向上，对称轴为直线x＝，∵对称轴右侧，y随x的增大而增大，∴当x＝时，y最大值＝50.∴当x＝时，△BEF面积的最大值是50.【知识点】四边形综合运用，二次函数的解析式，二次函数的最值问题，三角形全等的判定.25．（2019山东省威海市，题号25，分值12）（1）方法选

6、择如图①，四边形ABCD是OO的内接四边形，连接AC，BD.AB＝BC＝AC.求证：BD＝AD＋CD.小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM..……小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD……请你选择一种方法证明.（2）类比探究【探究1】如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD.BC是⊙O的直径，AB＝AC.试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论.【探究2】如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD.若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则

7、线段AD，BD，CD之间的等量关系式是.（3）拓展猜想如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD.若BC是O0的直径，BC：AC：AB＝a：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是.【思路分析】（1）选小颖的截长法，如图①，在DB上截取DM＝AD，连接AM，由旋转全等得BM＝CD，∴BD＝MD＋BM＝AD＋CD（2）【探究1】数量关系为：BD＝AD＋CD如图②，在DB上截取AD＝AN，连接AN，可得△AND为等腰直角三角形，∴ND＝AD，由旋转全等得BN＝CD，∴BD＝ND＋BN＝AD＋CD【探究2】数

8、量关系为：BD＝2AD＋CD如图③，在DB上截取2AD＝PD，连接AP，可得△APD为30°的直角三角形，由旋转相似得BP＝CD，∴BD＝PD＋BP＝2AD＋CD（3）拓展猜想数量关系为：BD＝AD＋CD如图④，过A作AQ⊥AD交BD于Q，连接AQ，由旋转相似得，，∴BQ＝CD，BQ＝AD