高考数学第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第8讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布分层演练

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1、第8讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．(2018·高考全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝(　　)A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3解析：选B.由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以DX＝10p·(1－p)＝2.4，所以p＝0.6或p＝0.4.由P(X＝4)＜P(X＝6)，得Cp4(1－p)6＜Cp6(1－p)4，即(1－p)2＜p2，所以

2、p＞0.5，所以p＝0.6.2．某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即X～N(100，a2)(a＞0)，试卷满分为150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在100分到110分(包含100分和110分)之间的人数约为(　　)A．400B．500C．600D．800解析：选A.P(X＜90)＝P(X＞110)＝，P(90≤X≤110)＝1－×2＝，P(100≤X≤110)＝，1000×＝400.故选A.3．(2017·高考浙江卷

3、)已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜，则(　　)A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)B．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)C．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)解析：选A.根据题意得，E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，i＝1，2，因为0

4、即D(ξ1)

5、＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝.所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.答案：6．袋中有20个大小相同的球，其中标上0号的有10个，标上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．解：(1)X的分布列为X01234PE(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.

6、(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.所以或7．(2019·合肥市第一次教学质量检测)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次

7、抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元．(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？解：(1)X的可能取值为0，500，1000.P(X＝0)＝＋××＝，P(X＝500)＝×＝，P(X＝1000)＝××＝，所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为X05001000P(2)由(

8、1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望E(X)＝500×＋1000×＝520，若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～B(3，)，则E(ξ)＝3×＝，抽奖所获奖金X的期望E(X)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，故选择方案甲较划算．1．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有