高等数学基础提高二讲义2

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1、第一章函数极限.连续§1.1函数（甲）内容要点•、函数的概念1.定义y=xelx为口变暈，y为因变量或称为函数值/:x->y为对应关系门变量在定义域里而取值的吋候，所有的函数值的全体就称为值域。口诀（1）：函数概念五要素；对应关系最核心。例1：2.分段函数（考研中用得很多）3x+l,x>例2：.Yx,x>0-x,x<0x2,x<0例3：max(x,x2,x3)=*x,01口诀（2）：分段函数分段点；左右运算要先行。3.反函数例：y=F的反函数x=±J7由于不单值，所以要看作x=G和x=_®它们的图像与y

2、=x2~^如果改变符号，写成y=J7和y=_長,那么它们的图像要变。4.隐函数Fg刃=0确定y与x的函数关系有些隐函数能化为显函数，例：x2+y2=1,y=J1-F和yji—/。另外有些隐函数则不能化为显函数。例：ev+v+sin(3x-2y)+5=0二、基本初等函数的概念、性质和图像(内容白己复习参考书，这里仅举例说明其重要性)例1:考察limarctanxX—>-HX>(•YT-8)y=arctanx的图像乙指数函数『=护的图像因此lime"=0x—>0三、复合函数与初等函数1.复合函数(i)已知门兀),g(x),求

3、f[g(x)](ii)已知/[g(X)],gd),求/(x)2.初等函数山基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算用-•个表达式表示的函数原则上來说，分段函数不是初等函数四、考研数学中常出现的非初等函数1.用极限表示的函数(1)y=limfn(x)“TOO(2)y=limf(t,x)t->x2.用变上、下限积分表示的函数(1)y=F(x)=ff(f)df其+/(r)连续，则y-=/(x)(2)y=GO)=其中0(x)，02(兀)可导，/(/)连续,则y-=/【02G)b；GO-fki(x)ax口诀(3)：变限积分是函数；

4、出现Z后先求导。五、函数的几种性质1.有界性:(i)定义：设函数y=/(x)在X内有定义，若存在止数M,使xeX都有f(x]

5、"[2(f{x)dx当f为偶函数口诀(4)：奇偶函数常遇到;对称性质不可忘。1.单调性：(i)定义：设/(X)在X上有定义，若对任意X]WX,x2eX,Xj于(兀2)]则称于(兀)在X上是单调增加的[单调减少的];若对任意兀]WX,兀2WX,X,『(兀2)]'则称f(X)在X上是单调不减[单调不增](注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。)(ii)判别方法：在(a,b)内,若广(x)>0,则/(兀)单调

6、增加；若广⑴<0,则单调减少。口诀(5)：单调增加与减少；先算导数止与负。2.周期性：(i)定义设/(兀)在X上有定义，如果存在常数TH0,使得任意xgX,x+TeX,都有/(x+?)=/(%),则称/(兀)是周期函数，称T为于(兀)的周期。山此可见，周期函数有无穷多个周期，一•般我们把其中最小正周期称为周期。(ii)例：f(x)=sinAr(2>0)周期为T=——；f(x)=sin—+cos—周期为12兀是2234龙和6龙的:tt小公倍数；/(x)=sinOT+sin2x不是周期函数，因为2和兀没有最小公倍数。(乙)典

7、型例题一、定义域与值域3-x',兀v-2[1.1函数(乙)典型例题(1)前】例2.求y=f(x)=l5-x-22域，并求它的反函数。解：x<-2,y>3+8=11,x=*3_y,-22,y=1-(x-2)2<1,兀=2+Jl-y,所以y=/(兀)的值域为(-oo,l)U[3,7]U(1l,+oo)2+Jl-y,y<1反函数x=<5-y,3ii二、求复合函数有关表达式例I•设心右，求皿E）H）n重复合解：心皿诈保?,JTX

8、17=5l+x21+2/根据数学归纳法可知，对止報数”,九（X）=【1.1函数（乙）典型例题（1）（咁］例2.已知fr(e]+"一兀]+怂2J1+(R+1)，)=xe-x,且/(1)=0,求/(x)因此广3)=广(/)=字，>=^ln2r^=—In2xv/(l)=0,f(x)=-2x三、有关四种性质【1・1函数(