不可压缩流基于块预处理的并行有限元计算

《不可压缩流基于块预处理的并行有限元计算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、不可压缩流基于块预处理的并行有限元计算李凌霄中国科学院计算数学与科学工程计算研究所摘要：发展了一个新的模拟非定常不可压缩粘性流的并行有限元求解器，时间离散使用具有二阶精度的隐式中点格式，基于三维非结构四而体网格剖分，使用高阶混合有限元离散速度场（P2）和压力场（P1）。全离散格式产生的代数方程组是大型、稀疏、非对称和病态的，基于修正的压力对流扩散预处理（PCD）和精心设计的子问题迭代执行策略，采用预处理的GMRES迭代法来高效求解线性方程组。利用相同的子问题迭代策略，同时给出了基于最小二乘交换子（LSC）预处理的并行效

2、率对比。大量数值算例验证了算法的精度、可扩展性和可靠性。三维驱动方腔流模拟结果（Re二3200）清晰地显示了方腔流中主涡（PE）、下游二次涡（DSE）、上游二次涡（USE）、狈IJ壁涡（EWV）和TGL涡的存在。关键词：不可压缩Navicr-Stokes;块预处理;GMRES迭代;三维驱动方腔流;混合有限元;并行计算;作者简介：李凌霄（1991-），男，博士研究生，从事不可压流体动力学的有限元数值模拟，E-mail:lilingxiao@lsec.cc.ac.cn收稿日期:2017-01-17Received：2017

3、-0IT70引言流体在流动过程中密度变化可以忽略的流动，称为不可压缩流动。不可压缩流模型可准确描述自然界中的一大类流动现象，其在很多实际应用中处于核心地位，例如高速列车流场模拟，1[2],热对流固，海洋循环、地幔对流、血液流动回,液态金属[5,6]等等。因此研究不可压缩流动的数值模拟具有重要意义。现有求解非稳态不可压粘性流体方程的算法一般有两类:显式求解和隐式求解。显式求解，如算子分裂算法in,这类算法计算代价较小但缺点是收敛速度慢且会出现迭代发散的情形。隐式求解将问题看成一个整体，基于Picard类型的线性化同时求解

4、出速度场和压力场;隐式求解算法无任何CFL条件限制，可使用大时间步长。对于大规模高精度数值模拟，尽管每个时间步所用的时间较多，但总的计算吋间一般比显格式少。本文使用具有二阶精度的隐式中点格式来离散口寸间，并使用经典的P2-PlTaylor-Hoodl81vM合有限元离散线性化的偏微分方程组。非稳态不可压缩Navicr-Stokes方程组是非线性方程组，其隐式直接数值模拟有如下两个挑战:高雷诺数下为捕获足够的流场细节，需要足够密的网格和长时间数值模拟，因此需要极大的存储空间和计算时间；离散后产牛的线性代数方程组是稀疏、非

5、对称和病态的，难以求解。针对第一个问题，本文借助于并行机来计算大规模问题并缩短模拟时间;针对第二个问题，本文使用预处理的GMRES迭代法鱼1来实现线性方程组的高效求解。其中预条件子采用修正的压力对流扩散(pcd)预处理技术。原始pcd预条件子mi针对稳态问题设计并没有考虑时间步长这个参数;非稳态问题线性方程组含有时间步长，木文提岀的修正可使其预处理效果关于时间步长是一致最优的，即线性方程组迭代次数不随时间步长减小而増加且会略有减小。关于不可压缩流的并行有限元计算的结果已有许多，例如高可扩展区域分解算法LL11，并行两重

6、网格离散方法［12,13］和基于变分多尺度的稳定化有限元方法基于最小二乘交换子(LSC)预处理技术，文献［15］对Boussinesq问题在三维非结构网格上进行了数值模拟。然而对于非稳态问题，基于块PCD预处理非结构网格上的三维大规模并行有限元计算还很少。值得注意的是，尽管文献［11,14］采用非结构网格,但采用线性元对速度进行离散，而本文用二阶Lagrange元对速度进行离散。LSC预处理技术和PCD预处理技术均是基于近似Schur补所得到的块预处理技术，不同的是近似原则不一样。LSC预条件子无须修正即可扩展至非稳态

7、问题，且预处理效果关于时间是一致的，其缺点是需要求解两个Poissonlike问题(PCD预条件子只需求解一个)；LSC预条件子走向并行面对的困难和本文修正的PCD预条件子一样，即如何避免稀疏矩阵乘积。冃前文献中，例如£1览对于LSC预条件子的执行要进行稀疏矩阵乘积操作，对于自适应有限元和大规模并行计算，计算代价是昂贵的。本文针对修正PCD预处理子问题提出的并行迭代执行策略能直接应用于LSC预条件子，从而可完全避免稀疏矩阵乘积操作。利用发展的求解器，对Re=3200.0时三维驱动方腔流进行了大规模数值模拟(计算区域为单

8、位立方体),剖分四面体单元数目为4,264,320,总未知量约为一千八百万。截面投影场量的可视化结果清晰地展示了主涡(Primaryeddy)、下游二次涡(Downstreamsecondaryeddy)、上游二次涡(Upstreamsecondaryeddy)、侧壁涡(End-wallvortices)和T-GTikevorti