线面角的计算

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1、线、面角的计算知识点睛一、在几何体中求点到平面的距离的处理思路1．作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；2．在三棱锥中用等体积法求解．例：求点S到平面ABC的距离，即求SO，利用进行求解．二、在几何体中线面角的处理思路定义法（1）找斜线上一点，过该点作与平面垂直的直线；（2）连接垂足和斜足，得到斜线在平面内的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求角；（3）把该角放在三角形中，解直角三角形，求角．注：垂足一般都是特殊点，比如中心、垂心、重心等．例：直线SB与平面ABC所成的夹角θ即为∠SBO，其中SO⊥底面ABC．三、在几何体中二面角的

2、处理思路1．定义法,方法一：直接在二面角的棱上取一特殊点，过该点分别在两个半平面中作棱的垂线，得到平面角；例：图1中二面角P-AD-B的平面角为∠EOF．（O为特殊点）方法二：由其中一个面的某一特殊点作棱的垂线，过垂足作棱的在另一个平面内的垂线，得到平面角．例：图2中二面角P-AD-B的平面角为∠POM．（P为特殊点）2．三垂线法:过其中一个面的某一特殊点作另一个平面的垂线，过垂足作相交棱的在另一个平面的垂线．例：图3中二面角P-AD-B的平面角为∠PON．（P为特殊点，PN⊥平面ABCD）突破口：研究两个半平面的图形特征，抓等腰三角形、直角三

3、角形等特征．精讲精练1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，求点A到平面PBC的距离．71.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点，求直线BE与平面ABCD所成角的正切值．2.如图，在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=90°，∠BCD=90°，且AB=AD，求AC与平面BCD所成角的大小．3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求BB1与平面ACD1所成角的余弦值

4、．4.如图，已知正四面体ABCD的棱长为a，E为AD的中点，连接CE．（1）求证：顶点A在底面BCD内的射影是△BCD的外心；（2）求AD与底面BCD所成角的余弦值；（3）求CE与底面BCD所成角的正弦值．71.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥底面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．（1）求证：BD⊥平面AED；（2）求二面角F-BD-C的正切值．2.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥AB，PA=AB=2，AC=1．（1）求证：PC⊥AB；（2）求二面角A-PC-B的正弦

5、值．3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.（1）求证：DC1⊥BC；（2）求二面角A1-BD-C1的大小．4.如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为，D是AC的中点．（1）求二面角A1-BD-A的大小；（2）求直线AB1与平面A1BD所成角的正弦值．71.如图，在三棱锥P-ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．（1）求直线PC与平面ABC所成角的正弦值；（2）求二面角B-AP-C的正切值．随堂测试2.如图，四棱锥P-A

6、BCD的底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，PO⊥AD，O为BC的中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求二面角P-AD-B的正切值；（3）求直线PB与平面PAD所成角的大小．作业3.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，求AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值．71.如图，在三棱锥O-ABC中，三条棱OA、OB、OC两两垂直，且OA=OB=OC，M是AB边的中点，求OM与平面ABC所成的角的正切值．2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，B

7、C=1，PC=，PD=CD=2．（1）求证：平面PDC⊥平面ABCD；（2）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．3.如图，在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D，E，F分别为AC，AB，BC的中点．（1）求证：EF⊥PD；（2）求直线PF与平面PBD所成角的正弦值．4.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，若SA=AB=BC，求二面角B-SC-A的大小．71.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A

8、1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a．（1）求a的值；（2）求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．2.如图，在直棱柱ABC-